Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast (1)

5 VÄGA HEA
Punktid

Esitatud küsimused

  • Millised jõud masspunktile mõjuvad ?
  • Millised on algtingimused ?
  • Milline on jõu F mooduli analüütiline avaldis ?
  • Kuidas seda lahendada ?
  • Kuidas suunata seejuures x-telje ?
  • Milline on jõu F analüütiline kuju ?
  • Millised on algtingimused ?
  • Millised on algtingimused ?
 
Säutsu twitteris
J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 19
4. Näiteülesanded.
Näide 4.1 Masspunkt massiga 2 kg liigub sirgjooneliselt jõu F mõjul, mille algväärtus on 8 N ja mis kasvab igas sekundis 2 N võrra. Leida punkti liikumise seadus kui v0 = 0 .
Lahendus Suuname x-telje piki punkti liikumissirget. Kuna siin on tegemist ühedimen- N sionaalse juhtumiga, siis kasutame diferentsiaalvõrrandi üldkuju (4.7), kus Fkx k =1
on kõigi mõjuvate jõudude projektsioonide summa x-teljele, s.t N m x = Fkx (4.15) k =1 Millised jõud masspunktile mõjuvad? Kõigepealt muidugi jõud F , mis teksti põhjal mõjubki x-telje sihis. Jõud F on aga muutuv suurus, mille väärtus kasvab kogu aeg, s.t ta oleneb ajast t. Selle jõu funktsionaalavaldise tuleb ise kirja panna. Seda on teha kaunis lihtne -- kui jõu algväärtus on F0 (N) ja ta kasvab igas sekundis c (N) võrra, siis jõud F = F0 + ct , (N). Antud juhul on see F = Fx = 8 + 2t , (N). Kas punktmassile mõjuvad ka mingid teised jõud? Teksti põhjal ei selgu, kas liikumine toimub näiteks mööda vertikaalsirget või hoopis mööda maapinnaga paralleelset sirget. Esimesel juhul tuleks arvestada ka raskusjõudu P = m g , teisel juhul raskusjõud x-teljele projektsiooni ei anna. Lepime kokku nii siin kui ka edaspidi, et kui tekstis mitte mingeid viiteid liikumissirge (või liikumistasandi) kohta ei ole, siis toimub liikumine maapinna tasapinnal . Seega siin raskusjõudu arvestada ei tule ja k Fkx = F = 8 + 2t . Arvestades, et mass m = 2 kg, võtab diferentsiaalvõrrand (4.15) siin kuju 2 x = 8 + 2t Siit x = 4 + t , (m s 2 ) Jõud F on ainult aja funktsioon ja see ülesanne lahendub otsese integreerimise teel (s.t siin on tegemist esimesse gruppi kuuluva ülesandega). Integreerime saadud avaldist 2 korda dx x = =4 +t dt dx = ( 4 + t ) dt x = ( 4 + t ) dt + C1 t2 x = 4t + + C1 (4.16) 2
Leiame kohe integreerimiskonstandi C1. Kuna siin v0 = 0 , siis kirjutades avaldise (4.16) välja alghetkel t = 0 , saame 0 = 0 + 0 + C1 s.t C1 = 0 . Seega J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 20
dx t2 x = = 4t + , ( m s ) dt 2 t 2 dx = 4t + dt 2 t2 x = 4t + dt + C 2 2 t3 x = 2t 2 + + C2 (4.17) 6 Nüüd tuleb leida veel integreerimiskonstandi C2 . Selleks peab teadma punkti algasendit x0 . See ei ole teksti põhjal aga otseselt antud. Küsimus on siin tegelikult selles, kuhu panna x- teljel koordinaatide alguspunkti O. Kuna O-punkti valik on vaba, siis asetame x-telje O-punkti just sinna punkti, kus masspunkt asus alghetkel. Selle valikuga on otsekohe konkretiseeritud, et x0 = 0 . Ehk lihtsamalt öeldes -- kui ülesande tekstis masspunkti algasendi kohta midagi öeldud ei ole, siis võib võtta x0 = 0 . Siis aga selgub võrrandist (4.17) otsekohe, et C2 = 0 . Kokkuvõttes oleme saanud ülesande lahendiks , et masspunkti liikumise seadus on t3 x = 2t 2 + , (m) 6
Näide 4.2 t Punktmass massiga 2 kg liigub jõu F = 10 - 2t ; 2sin mõjul. Punkti algasend on 2 määratud kohavektoriga r0 = ( 3;2 ) , algkiirusvektor v0 = (1;0 ) . Leida punkti liikumise võrrandid.
Lahendus Kuna tekstis liikumise tasapinna kohta midagi öeldud ei ole, siis oletame, et punkt liigub maapinna tasapinnal. Seega peale antud jõu F teisi jõudusid ei mõju. Siin on tegemist kahedimensionaalse juhtumiga ja ülesande tekstist selgub, et jõu F projektsioonid maapinnal asuvatele koordinaattelgedele x ja y on Fx = 10 - 2t , (N) t Fy = 2sin , (N) 2 Põhivõrrandid kahedimensionaalsel juhul on kujul m x = Fx m y = Fy Arvestades, et punkti mass on 2 kg, saame seetõttu 2 x = 10 - 2t 2 y = 2 sin t 2
ehk pärast taandamist J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 21
x = 5 - t y = sin t (4.18) 2 Kuna jõud oleneb siin ainult ajast t, siis on tegemist esimesse gruppi kuuluva ülesandega ja selline ülesanne lahendub otsese integreerimise teel. Integreerime kõigepealt esimest võrrandit x = 5 - t x = ( 5 - t ) dt + C1 t2 x = 5t - + C1 (4.19) 2 Leiame integreerimiskonstandi C1 . Selleks tuleb viimane avaldis välja kirjutada alghetkel t = 0 , arvestades seejuures, et teksti põhjal algkiirusvektori esimene projektsioon on x (0) = x 0 = v0 x = 1 . See annab 1 = 0 - 0 + C1 millest C1 =1. Integreerime saadud avaldist veelkord t2 x = 5t - +1 2 t2 x = 5t - + 1 dt + C 2 2 2 3 5t t x= - + t + C2 (4.20) 2 6 Leiame integreerimiskonstandi C 2 . Selleks tuleb avaldis (4.20) välja kirjutada alghetkel t = 0 arvestades, et x0 = 3 . See annab: 3 = C2 . Kokkuvõttes seega 5t 2 t 3 x= - + t + 3, (m). 2 6 Nüüd integreerime süsteemi (4.18) alumist võrrandit 2 korda t y = sin 2 t y = sin dt + C3 2 t y = -2 cos + C3 2 Integreerimiskonstandi C3 leidmisel arvestame, et y (0) = y 0 = v0 y = 0 . Hetkel t=0 saame seetõttu 0 = -2 1 + C3 millest C3 = 2 . Seega t y = 2 - 2cos 2 t millest y = 2t - 4sin + C 4 2 Kirjutades selle avaldise välja alghetkel t=0 ja arvestades, et y0 = 2 , saame 2 = C4 Ülesande lahendus on leitud. Punktmass liigub järgmiste võrrandite kohaselt J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 22
5t 2 t 3 x = - +t+3 2 6 y = 2 + 2t - 4 sin t 2 kus vahemaid mõõdetakse meetrites.
Näide 4.3
Punktmass M massiga m liigub sirgjoonel tõmbejõu mõjul, mis on võrdeline kaugusega liikumatust punktist O (koordinaatide alguspunktist). Võrdetegur on k 2 m . Leida punkti liikumise võrrand, kui punkt asus alghetkel tsentrist O kaugusel l ja algkiirusega v0 suundus tsentri O poole.
Lahendus Kõigepealt paneme tähele, et tekstis pole midagi öeldud selle kohta, millisel tasapinnal toimub liikumine. Seetõttu eeldame, et liikumine toimub maapinna tasapinnal (või maapinnaga paralleelsel tasapinnal). Seega raskusjõudu arvestada siin ei tule, kuna jõud m g on risti liikumise tasapinnaga, ainukeseks arvestatavaks jõuks ongi tekstis nimetatud tõmbejõud F . Teeme joonise, suunates x-telje mööda nimetatud sirgjoont. Seejuures on alati lihtsam, kui asetada masspunkt M x-telje positiivsele poolele.
0 F M x
Joonis 4.1 Põhivõrrand omab siin kuju m x = Fx (4.21) kus Fx on kõigi mõjuvate jõudude projektsioonide summa x-teljele. Siin Fx = -F (4.22) Nüüd tuleb jõu F analüütiline avaldis ise kirja panna. Tuletame siinjuures meelde keskkooli matemaatikast , et kui y on võrdeline muutujaga x ja võrdetegur on c, siis y = c x . Praegusel juhul on jõu moodul F = F võrdeline kaugusega OM ja võrde- tegur on k 2 m , s.t F = k 2 m OM . Kuna kaugus punkti M ja tõmbetsentri O vahel on muutuv suurus, siis peab ka F olema muutuv suurus, aga see nii tuligi. Ainult sellist jõu avaldist kasutada ei saa, seda tuleb teisendada. Arvestades, et punkti M sellise asendi puhul OM = x = x , saame F =k 2m x (4.23) Asendades nüüd selle jõu avaldise võrrandisse (4.22) ja selle omakorda põhi- võrrandisse (4.21), saame m x = -k 2 m x J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast 23
millest +k 2 x =0 x (4.24) Antud punkti liikumise diferentsiaalvõrrand on leitud. Nüüd tuleb see ära lahendada. Kontrollime kõigepealt kas selline diferentsiaalvõrrand on olemas lahendite tabelis (4.12). Selgub, et on küll ja nimelt kolmas võrrand (4.12C). Võrreldes võrrandeid (4.12C) ja (4.24) märkame, et A = k , B = 0. Seetõttu saab lahendite tabeli põhjal diferentsiaalvõrrandi (4.24) üldlahendi kohe välja kirjutada x = C1 sin kt + C 2 coskt (4.25) Leiame siit kõigepealt tuletise x = C1 k coskt - C 2 k sin kt (4.26) Millised on algtingimused? Ülesande teksti põhjal selgub, et x0 = l ja x 0 = v0 x = -v0 . Kirjutame nüüd võrrandid (4.25) ja (4.26) välja alghetkel t=0 arvestades nimetatud algtingimusi, saame l = C2 - v0 = C1k v0 millest C1 = - ja C2 = l . k Nüüd võime punkti liikumise võrrandi (4.25) põhjal lõplikult välja kirjutada, asendades
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #1 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #2 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #3 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #4 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #5 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #6 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #7 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #8 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #9 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #10 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #11 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #12 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #13 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #14 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #15 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #16 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #17 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #18 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #19 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #20 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #21 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #22 Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast #23
Punktid 10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.
Leheküljed ~ 23 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2008-11-27 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 74 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor eestland Õppematerjali autor

Lisainfo

Insenerimehaanika - Loenguid ja harjutusi dünaamikast - õpik/konspekt - J.Kirs - osa 2

insenerimehaanika , dünaamika

Mõisted


Meedia

Kommentaarid (1)

Nohikud profiilipilt
Nohikud: palju ül
12:17 26-02-2013


Sarnased materjalid

18
doc
Insenerimehaanika-Loenguid ja harjutusi dünaamikast
151
pdf
PM Loengud
45
doc
Teooriaküsimused ja vastused
477
pdf
Maailmataju
22
doc
Staatika-kinemaatika ja dünaamika
414
pdf
TTÜ üldfüüsika konspekt
22
doc
Eksamiküsimused
156
pdf
Kõrgem matemaatika





Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun