18
J. Kirs Loenguid ja harjutusi dünaamikast
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL
Mehhatroonikainstituut



JÜRI KIRS

INSENERIMEHAANIKA

III

Loenguid ja harjutusi dünaamikast

Tallinn 2004

III osa. DÜNAAMIKA
§1. Sissejuhatus
1. Dünaamika aine ja põhikategooriad
Dünaamikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumist neile rakendatud jõudude mõjul.
Staatikas uuritakse ainult jõudusid ja jõusüsteeme ning seal ei uurita seda, kuidas liiguks materiaalne osake või jäik keha kui sellele need jõud rakendada. Kinemaatikas uuritakse ainult liikumist, kuid seda puht geomeetrilisest aspektist, jättes täielikult välja jõud, mis selle liikumise põhjustavad. Dünaamikas uuritakse materiaalsete osakeste ja jäikade kehade liikumist neile rakendatud jõudude toimel ning ka seda, kuidas muutub see liikumine kui nii või teisiti muuta jõudusid. Kui staatikas vaadeldi jõudusid konstantsete suurustena, siis dünaamikas on jõud muutuv suurus. Dünaamika tähtsamateks kategooriateks on inerts ja mass.
Inertsiks nimetatakse materiaalsete kehade omadust säilitada oma liikumise olek muutumatuna jõudude puudumisel või nende tasakaalu puhul.
Võib öelda ka veidi teisiti: Inerts on materiaalsete kehade omadus rakendatud jõudude mõjul kiiremini või aeglasemalt muuta oma liikumise kiirust. Kui näiteks ühesuguste jõudude toimel esimese keha kiiruse muutumine on aeglasem kui teisel, siis öeldakse, et esimene keha on enam inertne kui teine ja vastupidi. Antud keha suurem või väiksem inertsus sõltub temas sisalduva aine hulgast.
Suurust, mis sõltub keha aine hulgast ja mis on tema inertsi mõõduks translatoorsel liikumisel, nimetatakse keha massiks. Massi tähis on m ja ühik kg.
Teoreetilise mehaanika dünaamika osas uuritakse masspunkti (öeldakse ka punktmassi), jäiga keha ja punktmasside mehaanikalise süsteemi liikumist neile rakendatud jõudude toimel.
Punktmassiks ehk masspunktiks nimetatakse materiaalset keha, mille mõõtmeid tema liikumise uurimisel ei tule arvestada. See võib olla ühest küljest väga väike materiaalne osake, millel õieti polegi mõõtmeid või mille mõõtmed on väga väikesed võrreldes kaugustega punktide vahel. Teisest küljest võib see olla küllaltki suur materiaalne objekt, kuid mille mõõtmetel pole liikumise seisukohalt mingit tähtsust — näiteks juhul kui see keha liigub translatoorselt . Teatavasti on translatoorse liikumise puhul kõikide punktide kiirused ühesugused nii suuruselt kui ka suunalt, ning ka kiirendused on kõik ühesugused. Seetõttu — selle asemel, et uurida translatoorselt liikuvat keha võib uurida ühtainsat selle punkti. See aga tähendabki seda, et keha mõõtmetel ei ole siin mingit tähtsust. Peale selle võib iga jäiga keha oma mõttes tükeldada väga väikesteks osakesteks ja vaadelda igat sellist osakest punktmassina.

2. Lühimärkmeid ajaloost.
Dünaamika rajajaks loetakse G. Galileid (1564-1642). Tema võttis kasutusele kiiruse ja kiirenduse mõisted punkti sirgjoonelise mitteühtlase liikumise puhul ning formuleeris dünaamika I seaduse — inertsiseaduse. Ta uuris kehade liikumist kaldpinnal ning kehade vaba langemist õhutühjas ruumis, samuti tegi ta kindlaks, et horisondi suhtes nurga all visatud keha liigub õhutühjas ruumis mööda parabooli .
Galilei poolt alustatut arendas edasi Isaac Newton ( 1643 -1727), kes oma kuulsas teoses “Loodusfilosoofia matemaatilised alused” (1687) esitas dünaamika kolm põhiseadust ja nende alusel punkti dünaamika süstemaatilise põhikursuse. Samuti kuulub Newtonile ülemaailmse gravitatsiooniseaduse avastamise au.
Esimesena kasutas inertsmomendi mõistet üks suurimaid XVII sajandi teadlasi Christian Huygens (1629-1695) seoses uurimustega füüsikalise pendli alalt. Huygensi nimega on seotud ka paralleelsete telgede teoreem , millele tänapäevase kuju andis F. Steiner (1849-1901). Nimetuse “inertsmoment” võttis kasutusele L. Euler (1707-1783), temale võlgneme ka peainertstelgede mõiste (1765). Inertsellipsoidi tõi mehaanikasse L. Poinsot’ 1834. aastal. L. Eulerit loetakse jäiga keha mehaanika rajajaks. Ta vaatles esimesena jäika keha koosnevana üliväikestest masspunktidest, mis on omavahel ühendatud liikumatult. Ta esitas esmakordselt ühe kinnispunkti ümber pöörleva jäiga keha kinemaatilised ja dünaamilised võrrandid.
Liikumishulga jäävuse seaduse andis René Descartes (1596- 1650 ) oma töös “Filosoofia printsiibid” 1644 . aastal, kus ta kasutas seda põrkeülesande lahenda-miseks. Newton täpsustas hiljem, et süsteemi liikumishulka saavad muuta ainult välisjõud.
Kineetilise energia muutumise teoreemi andsid Johann Bernoulli (1667- 1748 ) ja Daniel Bernoulli (1700- 1782 ). Kineetilise momendi muutumise teoreemi esitasid 1746 . aastal peaaegu üheaegselt L. Euler ja D. Bernoulli.
Tänapäeval hästi tuntud d’ Alembert ’i printsiibi alused rajas hoopis Peterburgi Teaduste Akadeemia akadeemik J. German (1687- 1733 ) 1716. aastal, kui ta esitles kinetostaatika meetodit. Seda ideed arendas edasi, üldistas ja andis lõpliku kuju 1743. aastal J. d’Alembert ( 1717 -1783). Virtuaalsiirete printsiibi formuleeris üldkujul esimesena Johann Bernoulli 1717. aastal. Printsiibi näitlik tõestus, mis polnud küll range, pärineb Lagrange ’ilt. Rangelt tõestas selle printsiibi Ampère 1806. aastal.
Analüütilise suuna suurimaks esindajaks oli kaheldamatult väljapaistev prantsuse matemaatik ja mehaanik Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Ta sidus d’Alembert’i printsiibi staatikast tuntud virtuaalsiirete printsiibiga ja oli sellega dünaamika üldvõrrandi loojaks, mida tänapäeval nimetatakse ka d’Alembert’-Lagrange’i printsiibiks. Lagrange’i teeneks on ka üldistatud koordinaatide ja üldis-tatud jõudude kasutuselevõtt mehaanikas, samuti kuuluvad talle mitmed tähtsad uurimused väikeste võnkumiste teoorias . Lagrange’i tööde tulemusena muutus mehaanika sama rangeks teaduseks kui seda on matemaatika. Tema peateos on “Analüütiline mehaanika” (1788).
Lagrange’i poolt rajatud uue suuna, mida tänapäeval tuntakse analüütilise mehaanika nime all, üheks väljpaistvamaks edasiarendajaks oli inglise mehaanik, matemaatik ja astronoom William Rowan Hamilton (1805-1865). Tal õnnestus tuletada üldine variatsiooniprintsiip (nn vähima mõju printsiip), millest lähtudes võib saada süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid.
Muutuva massiga kehade mehaanika rajas Peterburgi Polütehnilise Instituudi professor Ivan Meštšerski (1859-1935). Oma kuulsa võrrandi esitas ta magistri-dissertatsioonis “Muutuva massiga punkti dünaamika” 1897. aastal. Seda arendas ta edasi ja üldistas 1904. aastal. Raketiteooria looja on K. Tsiolkovski (1857-1935).

§2. Dünaamika aksioomid
Dünaamika aksioome on neli. Kolmeks esimeseks on Newtoni kolm seadust. Neljanda aksioomi, nn “jõudude mõju sõltumatuse printsiibi” esitas