FUNKTSIOONID. 1. (1997 A) Leidke funktsiooni y = 4x3 3x2 maksimum- ja miinimumkoht ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2 2. (1997 B) Leidke funktsiooni y 2 x määramispiirkond, maksimum- ja x 1 miinimumpunkt ning kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 3. Joonisel on antud ruutfunktsiooni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke a) Ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; b) Punkti A koordinaadid; c) Funktsiooni y = f(x) nullkohad ja haripunkti koordinaadid; d) Funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab funktsiooni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; e) Antud funktsioonide ühine positiivsuspiirkond. 4. (1998) Heinakuhja telglõige on piiratud joonega y = 1 x2 ja sirgega y = 0.
4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala oleks võrdne . 4 22. (26.05.2003, T, 15 punkti). Arvsirge piirkonnas, kus 0 x 2 , vaadeldakse funktsioone f x 2 cos x ja g x tan x . 1) Lahendage võrrand f x g x . 2) Joonestage funktsioonide f x 2 cos x ja g x tan x graafikud ja märkige eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 3) Leidke vahemik, kus mõlemad funktsioonid on samaaegselt a) positiivsed, b) negatiivsed. 23. (01.11.2003, S, 15 punkti). Antud on funktsioon f x 6 cos x sin x 6 lõigul 2 0;2 .
2) koostage funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand punktis , mille abstsiss on 1 g x ax 2 c 3) määrake ruutfunktsiooni avaldises kordajate a ja c väärtrused tingimusel, et alajaotuses 2) leitud puutuja oleks ühtlasi ka funktsiooni y = g(x) graafiku puutujaks punktis, mille abstsiss on 1 4) Joonestage samas teljestikus funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud ning nende graafikute ühine puutuja. Vastus: 1) 0; ; f x ln x; 2) y x 1; 3) a 0,5 ; c 0,5 3. Puutuja võrrandi koostamine a) Koostage joone puutuja y = 2x3 - x2 -3x + 1 puutujate võrrandid, kui puutujad moodustavad x telje positiivse suunaga nurga 450 17 Vastus. y = x - 2 y = x + 2 27 b) Koostage hüperbooli puutuja ja normaali võrrand punktis A( 2 ; 3 ) ; y = (x+1):(x- 1)
magusa õuna Vastus 67/91 f) Kvaliteetse detaili tegemise tõenäosus esimesel tööpingil on 0,7 ja teisel 0,8. Esimesel tehakse 2 detaili ja teisel 3 detaili. Kui suur on tõenäosus, et kõik 5 on kvaliteetsed? Vastus ~ 0,25 g) Täringut heidetakse 2 korda . Leia järgmiste sündmuste tõenäosused: a) Kummagi täringuga saadakse ülimalt 3 silma b) Saadud silmade summa on vähemalt 9 silma c) Kummagi täringuga saadakse vähemalt 5 silma d) Saadud silmade summa on ülimalt 4 Vastus. a)0,25 b) 5/18 c) 1/9 d) 1/6 h) Vanaemal on keldris 15 purki maasikamoosi, neist 11 on selle aasta moosid. Leidke tõenäosus, et a) juhusliku purgi
ühest võrrandist üks tundmatu ja 3x+3y=48+2x-2y asendada see teise võrrandisse; lahendada x+5y=48 saadud ühe tundmatuga võrrand ühe teisendan II võrrandi normaalkujule tundmatu väärtuse leidmiseks; nn. 2y-2x=132-4x+4y avaldamise reast arvutada teise tundmatu 2x-2y=132 |:2 väärtus x-y=66 võrrandisüsteem normaalkujul x+5y=48 x-y=66 avaldan II võrrandist tundmatu x NB kasutada juhul, kui süsteemi pole x=y+66 võimalik lahendada liitmisvõttega asendan selle I võrrandisse, nii saan y (võrrandites esinevad tundmatute ruudud väärtuse või korrutised) y+66+5y=48
koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 19. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = - x - 2 ja ruutfunktsiooni y = x 2 - 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 20. Alljärgnev, osaliselt täitmata tabel peab esitama ruutfunktsiooni y = x 2 - 2 x muutujate x ja y vastavate väärtuste paare.
b) (2y + 1)(5 2y)2 (2y 3)3 = 4 Lahendus: (2y + 1)(5 2y)2 (2y 3)3 = 4 (2y + 1)(25 20y + 4y2) (8y3 3 . (2y)2 . 3 + 3 . 2y . 32 33) = 4; 50y 40y2 + 8y3 + 25 20y + 4y2 8y3 + 36y2 54y + 27 4 = 0; 24y + 48 = 0; 24y = 48 : 24 ; y = 2. Kontroll: Võrrandi vasak pool: (2 . 2 + 1)(5 2 . 2)2 (2 . 2 3)3 = 5 . 12 13 = 4. Parem pool: 4 Võrrandi vasak pool on võrdne parema poolega. Vastus: y = 2 4. Lahenda võrrandisüsteem. u 4 v 5 uv 8u v 8 a) 2 5u 6 v 1 10uv 14u 15v 21 Lahendus: ; ; ; ; u v 4 = 0; u = 4 + v; 4(4 + v) + 3v + 9 = 0; 16 4v + 3v + 9 = 0; v 7 = 0; v = 7; u = 4 7 = 3; . Kontroll: Esimese võrrandi vasak pool: ( 3 + 4)( 7 + 5) = 1 . ( 2) = 2,
Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest ei ületa moodi? Tehke hinnete jaotusele vastav tulpdiagramm. 2 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x2 3x 4 ja y = - x + 3 3 graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkti koordi- naadid. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 120 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 5 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui kõrgele sel juhul vesi anumas tõuseb ja kui mitu protsenti anumast on veel täitmata? © Allar Veelmaa 2008
1 Lineaarfunktsiooni e. lineaarse seose valem: y = ax + b , a 0 väärtusest. Kõrvaloleval joonisel 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 on nelja erineva võrdelise seose lineaarliige vabaliige 1 graafikud: Lineaarfunktsiooni graafikuks on sirge, mis on alati paralleelne vastava 2 3 y = 2x y = 4x võrdelise seose graafikuga (s.t. näiteks funktsiooni y = 2x 3 graafik on 4 y = 0,25x y = 0,5x paralleelne seose y = 2x graafikuga). Lineaarfunktsiooni graafik lõikab y-
kogumassi kurkidel ) Vastus : Kurke on laos , peale veesisalduse vähenemise , 500 kg 4. Lahendage graafiliselt ülesanne : y = 6 x ; y = 2 + 2x y = 2 + 2x y x 0 -1 6 y 2 0 2 6 x -1 y=6x x 0 6 y 6 0 5. Lahendage võrrandisüsteem : y = -15 + 3x y = 28-4x y = -15 + 3x y = 28-4x · Lahendus asendusvõttega ( asendan ühe tundmatu ühes võrrandis , teise võrrandiga ) 28 4x = -15 + 3x 28 + 15 = 4x + 3x 43 = 7x x = 6,14 ( kui üks muutuja on arvutatud , siis saadus väärtus tuleb panna ükskõik kumba võrrandisse , arvutamaks teist muutujat ) y = -15 + 3*6,14 y = 3,42
2 6. (15 punkti) On antud funktsioonid f ( x) = sin 2 x ja g ( x) = cos - x - cos x - . 3 3 1) Näidake, et g ( x ) = - cos x . 2) Leidke võrrandi f ( x) = - cos x lahendid, mis asuvad lõigul [0;2 ] . 3) Joonestage ühes ja samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = f ( x) ja y = g ( x) graafikud ning lahendage joonise põhjal võrratus f ( x) < g ( x) lõigul [0;2 ] . ___________________________________________________________________________ Lahendus. 1) 2 2 2 g ( x) = cos - x - cos x - = cos cos x + sin sin x - cos x cos - 3 3 3 3 3 1 3
1 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK I Joonistel on kuue funktsiooni graafikud. Tee kindlaks, missuguste funktsioonidega on tegemist. 1 2 3 © Allar Veelmaa 2014 2 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KORDAMINE: FUNKTSIOONI GRAAFIK II © Allar Veelmaa 2014 3 10
Funktsioonid ja nende graafikud © T. Lepikult, 2010 Funktsioon Kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. Asjaolu, et üks muutuja on teise funktsioon, tähistatakse y = f(x). Näited: Kuubi ruumala on tema serva pikkuse funktsioon, suusataja poolt läbitud teepikkus on aja funktsioon, vedru deformatsioon on tõmbejõu funktsioon jne. Funktsiooni argument Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks e. argumendiks. Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks. Näide Ringi pindala sõltuvust raadiusest kirjeldab funktsioon S = r 2 , kus s�
Kui palju tuleb kumbagi haara pikendada, et need lõikuksid? 6. (8 p) Ottomari hinded on 2, 4, 3, 1, 2, 4, 3, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 5, 3, 1, 3, 5, 3, 3 ja 1. Leidke keskmine hinne ja hinnete mood. Kui mitu protsenti hinnetest on suuremad moodist? Tehke hinnete jaotusele vastav sektordiagramm. 2 7. (11 p). Joonestage ühte teljestikku funktsioonide y = x 2x 3 ja 223yx=-+ graafikud. Leidke ruutfunktsiooni nullkohad ja graafiku haripunkt. Missugustes punktides lõikab lineaarfunktsiooni graafik koordinaattelgi? 8. (11 p) Silindrikujulise anuma läbimõõt on 56 cm ja kõrgus 20 cm. Kas sellesse anumasse saab valada 7 ämbritäit vett, kui ämbri maht on 9 liitrit? Kui palju värvi kulub selle anuma külgpinna värvimiseks, kui värvi kulu 1 m² kohta on 250 grammi? Vastus andke kümnendiku täpsusega.
Raudvara VÕRDELINE JA PÖÖRDVÕRDELINE SEOS. LINEAARFUNKTSIOON 4.1 MIS ON FUNKTSIOON? Teise väärtuse üks kindel väärtus on finktsioon. Funktsioon (y) Muutujat, mille väärtuse järgi leitakse teise muutuja vastavaid väärtusi, nimetatakse argumendiks. Argument (x) Argumendi väärtuste järgi leitud teise muutuja vastavat väärtust nimetatakse finktsiooni väärtuseks. 4.2 VÕRDELINE SEOS. Kui vastavate väärtuste (muutujate) jagatis on jääv suurus, siis kaks muutujat on seoses ehk y = ax, a on väiksem kui null (a = 0), see tähendab et muutuja y on võrdeline muutujaga x (võrdeline seos). A on antud arv ehk võrdeline tegur. A on suurem kui null (a > 0). Ühe muutuja väärtuse suurenemisel (vähenemisel) mingi arv korda suureneb (väheneb) ka teise muutuja väärtus sama arv korda. 4.3 VÕRDELISE SEOSE GRAAFIK. Võrdelise seose graafik läbib alguspunkti 0 punkti. Kui a on suurem kui 0 (a>0), siis graafik asetseb esimeses ja kolman
3. Milliste parameetrite a ja b väärtuste korral on võrrandisüsteemil lõpmata 12 x + ay = 8 palju lahendeid? 2ax + 3 y = 15 4. Millise parameetri a väärtuse korral võrrandisüsteemil lahend puudub? 4x - 5y = 5 5. Lahenda võrrandisüsteem xy + y 2 = 5 x 2 - y 2 = 24 1) ; 2) . 2 x + 3 y = 7 x+ y=6 6. Kui arv x jagada arvuga y, siis jagatis on 4 ja jääk 30. Kui nüüd liita jagatav, jagaja, jagatis ja jääk, siis see summa on 574. Leia jagatav x ja jagaja y. 7. Kolme paaki mahub kokku 1440 l vett. Kaks nendest paakidest on veega täidetud, kolmas on tühi
a1 b1 C1 d1 b1 C1 a1 d1 C1 a1 b1 d1 = a2 b2 C2 x = d 2 b2 C2 y = a2 d 2 C2 z = a2 b2 d2 a3 b3 C3 d3 b3 C3 a3 d3 C3 a3 b3 d3 kui 0, siis on üks lahend; kui =0 ja xy0, siis pole lahendeid; kui =0 ja x=y=0, siis on lahendeid lõputult. Kahe tundmatuga ruutvõrrandisüsteem See on siis võrrandisüsteem, milles on kaks tundmatut ja vähemalt üks võrranditest on ruutvõrrand. Näide: 4x + y = 2x2 >>>> 41,5 + 2y = 3 4x + 2 y = 3 2y = -3 |:2 y1= -1,5 2y = 3 4x |:2 y = 1,5 2x 4(-0,5) + 2y = 3
Ülesanded logaritm- ja eksponenfunktsioonile ja võrranditele. 1. Arvutage avaldise täpne väärtus ilma taskuarvutita, näidates tehteid: 1 1 -2 - 1 100 4 10 5 + 0,04 2 - - + 16 0, 25 52,3 0 + 2 3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta). Iseloomusta funktsiooni y = 3 x (vähemalt viis kõige olulisemat omadust). 3. Kui suureks kasvab summa 570 eurot nelja aasta pärast, kui pank maksaks kuus 1% intressi? 4. Lahendage võrratused, põhjenda (miks): a) 0,12 x 0,1 ja b) 8 2 2 x -3 > 43. x -1
Tulemused kandke tabelisse. 7. Avage lüliti K ning registreerige voltmeetri näit, mis on sel juhul meie töö jaoks piisava täpsusega võrdne kahes elemendist koosneva patarei summaarse elektromotoorjõuga . 8. Esitage mõõtmistulemused juhendajale kontrollimiseks ja seejärel ühendage skeem lahti. 9. Iga mõõtmistulemuse (I ja U) korral leidke kasulik võimsus N1 ja kasutegur . Arvutatud suuruste järgi joonestage ühes ja samas teljestikus graafikud N1= N1(I) ja =(I) (mõlemal juhul võtke x-teljeks voolutugevuse I telg ja kasutage kahte erineva mastaabiga y-telge) Siluge saadud graafikud. 10. Arvutage iga mõõtmistulemuse jaoks Ohmi seadusest vooluringi sisetakistus r ja välistakistus R ning nende suhe R/r. R R R 11. Joonestage graafikud N1 = f ja = f ühise -teljega (abstsissteljega) ja kahe r r r erineva y-teljega
kuidas jätta meelde, kumb on lugeja ning kumb nimetaja? x + y 2+ y 3 2 13 - = 2 3 2 3. Korruta ülesse märgitud arvuga läbi lugejad. 3x + 3 y - 4 + 2 y = 3 4. Vii normaalkujule 3x+5y=7 5. Lahenda võrrandisüsteem vastavalt oma valikule kolmest lahendusviisist 3 x - y = 5 3 x + 5 y = 7
Matemaatilised meetodid loodusteadustes. II kontrollt¨ o¨o, I variant 1. Leida j¨argmised piirv¨a¨artused (3p): 9 + x2 -2x4 - 3x3 + 1 2x lim , lim , lim x-3 (x + 3)2 x- x3 - 3x4 x x - ex Lahendus. 9 + x2 limx-3 (9 + x2 ) 18 1) lim = = = +, x-3 (x + 3)2 limx-3 (x + 3)2 +0 -2x4 - 3x3 + 1 x4 -2 - x3 + x14 -2 + 0 + 0 2 2) lim 3 4 = lim 4 2 = = x- x - 3x x- x x -3 0-3 3 2x limx (( 2x)
Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi. Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral. Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax 2 + bx + c , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon y = x n . Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast väärtusest alates või argumendi x teatava väärtuseni
4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z Kontroll: Kui n = 0, siis x1 = ( 1 + 2 0) = ; x2 = 0,5 ( 1 + 4 0 ) = 0,5 sin - cos = 0 - ( -1) = 1 v = p sin 0,5 - cos 0,5 = 1 - 0 = 1 v = p Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 3) Lahendame võrratuse f (x) > 0 lõigus [0; ] . Võrratuse võib lahendada graafiliselt. Selleks tuleb joonestada funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud lõigul [0; ] . Võrratuse sinx > cosx lahendamiseks tuleb leida sellised argumendi x väärtused, mille korral funktsiooni y = sinx graafik asub ülevalpool funktsiooni y = cox graafikut. Leiame graafikute lõikepunkti abstsissi. Graafikute lõikepunkti võib leida ka jooniselt. Lõigus [0; ] saab x väärtuseks olla ainult 450. x = 450 = . Täpsema tulemuse saamiseks võib lahendada võrrandi sin x cos x = 0. 4 sin x cos x = 0;
vaid kahest, millest üks on alati punkt (0;0)). Probleemid võivad tekkida juhul, kui arv a on arvutamiseks ebamugav (näiteks harilik murd, mida ei saa täpselt kümnendmurruks teisendada). Sel juhul tasub x väärtused valida nii, et arvu a korrutamisel x väärtusega saame tulemuseks täisarvu. 2 5 Näide. Joonestame funktsioonide y = x ja y = - x graafikud. 3 6 x 0 3 x 0 6 y 0 2 y 0 5 Mitmed õpetajad soovitavad tabeli horisontaalpaigutuse asemel kasutada vertikaalpaigutust, sest sel juhul on tabelis olevad arvud samas järjekorras nagu punkti koordinaadid tasandil. x y 0 0 3 2 x y 0 0 6 5 Punkt (0; 0) Punkt (3; 2) Punkt (0; 0) Punkt (6; 5)
n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. . 3 x + 2 x - x = 8 1 2 3 1 2 3 2
· y=ax2+b, y=ax2k+b (k on täisarv)
·
+
24. Eksponentfunktsioon, graafik y = a , kus a R ja a 1
x
· .
· Määramispiirkond kõik reaalarvud
· Muutumispiirkond positiivsed reaalarvud
· Graafik läbib punkti (0;1)
· Kui kahe eksponentfunktsiooni astendatavad on teineteise pöördarvud, siis
nende funktsioonide graafikud on sümmeetrilised y-telje suhtes
· Kasvav kogu määramispiirkonnas, kui a>1. Kahanev, kui 0
n ja DA 0. b. Süsteemil puudub lahend, kui võrrandid on vastuolulised. c. Süsteemil on lõpmata palju lahendeid,kui tundmatute arv on suurem võrrandite arvust või võrrandid on lineaarselt sõltuvad s.t. DA = 0. Sel juhul kasutatakse üldlahendit ja erilahendeid. Süsteemide lahendamise meetodid. 1. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine maatrikskujul: Olgu antud lineaarne võrrandisüsteem maatrikskujul: AX = B Avaldades sellest tundmatu X, saame: X = A-1B. Seda meetodit on eriti mugav kasutada juhul, kui mitmel erineval süsteemil on ühesugused kordajad, kuid erinevad vabaliikmed. Näide: Lahendada lineaarne võrrandisüsteem: x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2 2 x1 - x2 - 2 x3 = 2. 3x + 2 x - x = 8 1 2 3 . 1 2 3 2
1. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte C(-3 ; 1) ja D(2 ; -5). X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ; 4) määratud sirge tõus. Kas s
Süsteemi determinant on D 4 7 4 2 1 7 1, ¨ 3,4 x 2,8 2,64 ¨ 6,7 x 2,9 y 31,8 1 2 478. Lihtsusta ja seejärel lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. 2 7 determinant Dx 2 2 1 7 3 ja ¦ p q ¦ 4( x 2 ) 1 5 y ¦© x © 1
< graafiku abil < analüütiline esitus < nooldiagrammina < sõnaline formuleering Mitte igat funktsiooni ei saa esitada analüütiliselt, valemi abil (vt näide 2.1). Majanduses kasutatava matemaatilise modelleerimise korral püütakse erinevate suuruste vahel valitsevaid seoseid kirjeldada analüütiliselt, valemi abil. ÜLESANDED 2.1 Joonisel 11 on erinevatel graafikutel suuruse x väärtustele seatud vastavusse suuruse y väärtused. Millised graafikud kujutavad funktsionaalset sõltuvust y=f(x) ? Joonis 11 Astendamine. Polünoomid. Kui n on positiivne täisarv, siis xn tähendab, et x on iseendaga korrutatud n korda: xn = x@ x @ x @ ... @ x. MAJANDUSMATEMAATIKA I Funktsioonid ja nende algebra 9
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c d Ringjoon, mille võrrandiks on r b ( x - a) 2 + + ( y - b) 2 - r 2 = 0 a 0 c x Joone konstrueerimine tema võrrandi järgi Ülesandeks on konstrueerida joon (või funktsiooni graafik), kui on teada tema võrrand F(x, y) = 0 . Ülesande lahendami
5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v lõpppunkt asetseb samuti sellel paraboolil. 2) Leidke vektorite v1 =(a1;9) ja ja v 2 =(a2;9) vahelise nurga suurus, võttes a1 ja a2 väärtused eelmisest punktist. 6. Joonisel on antud ruutf-ni y = f(x) ja funktsiooni y = ex graafikud. Leidke: 1) ruutfunktsiooni y = f(x) määrav valem; tema nullkohad ja haripunkti koordinaadid; 2) punkti A koordinaadid, kus y = ex lõikab y-telge; 3) funktsiooni y = ex väärtus kohal, mis vastab f-ni y = f(x) absoluutväärtuselt vähimale nullkohale; 4) antud f-de ühine positiivsuspiirkond; 5) puutuja võrrand funktsioonile f(x) kohal, kus ta lõikab y-telge. Joonista see puutuja f(x) graafikule. 7
Lahenda lineaarvõrrandisüsteemid 1. Lahenda võrrandisüsteemi graafiliselt. y - x 4 y 4x 1 (a) b) y 2x - 5 y 2x - 3 2. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid liitmisvõttega. y x 1 x - y 10 (a) (b) 2x y 5 0 2x - y 16 3 y 4 x - 2 2x 3y - 6 0 (c) (d) 2 y - 1 x 2 y - 3 x 2 4 3. Lahenda järgmised lineaarvõrrandisüsteemid asendusvõttega. x 3y 6
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
