Funktsioonide mõisted (0)

Lõik failist

Sarnased õppematerjalid

64

pdf

Kolokvium 1 materjal

elementi hulgast Y, siis ¨ oeldakse, et hulgal X on m¨a¨aratud mitmene funktsioon f. N¨aiteks kahese funktsiooni f korral leidub v¨ahemalt u ¨ks argumendi v¨a¨artus x funkt- siooni m¨ a¨aramispiirkonnast X, millele vastab kaks erinevat funktsiooni v¨a¨artust y1 ja y2 , ning ei leidu argumendi v¨ a¨artust, millele vastab rohkem kui kaks funktsiooni v¨a¨artust. Tavaliselt t~ olgendatakse mitmest funktsiooni u¨heste funktsioonide (mitmese funkt- siooni harude) komplektina. J¨ argnevalt, k~oneldes funktsioonist, eeldame vaikimisi, et tegemist on u¨hese funktsiooniga. N¨ aide 1. Vaatleme funktsiooni y = x2 , kus X = [-1; 1], mille graafik on kujutatud joonisel 0.8 0.6 y

Matemaatiline analüüs

204

pdf

Topoloogilised ruumid

¨ TALLINNA TEHNIKAULIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT Peeter Puusemp TOPOLOOGILISED RUUMID Loengukonspekt Tallinn 2003 SISUKORD Eess˜ona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 TOPOLOOGILINE RUUM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Topoloogilise ruumi definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Topoloogilise ruumi baas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Kinnised hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ¨ 1.4 Ulesandeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 ¨ 2 UMBRUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Punkti u ¨mbruste s¨ usteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Topoloogia m¨a¨aramine u ¨mbruste s¨

Matemaatiline analüüs 2

142

pdf

Matemaatilise analüüsi konspekt TTÜ's

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . .

Matemaatiline analüüs

142

pdf

Matemaatiline analüüs I

Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . .

Matemaatika

273

pdf

Lembit Pallase materjalid

YMM3731 Matemaatiline analu¨u¨s I 2007/08 ~o.-a. su¨gissemestril 3,5 AP 4 2-0-2 E S Dots. Lembit Pallas TTU¨ Matemaatikainstituut V-404, tel. 6203056 e-post: [email protected] K¨asitletavad teemad on toodud punktide kaupa. Neid punkte tuleb vaadelda ka kui kollokviumide ja eksami teooriak¨ usimusi. 1. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid 2. Funktsioonide liigitamine (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioo- nid, kasvavad ja kahanevad funktsioonid) 3. P¨o¨ordfunktsioon 4. Liitfunktsioon 5. Jada piirv¨aa¨rtus 6. Funktsiooni piirv¨aa¨rtus ¨ 7. Uhepoolsed piirv¨aa¨rtused 8. L~opmatult kasvavad ja l~opmatult kahanevad suurused 9. Piirv¨a¨artusteoreemid 10. L~opmatult kahanevate suuruste v~ordlemine 11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12

Matemaatiline analüüs

1080

pdf

Matemaatiline analüüs terve konspekt

Elementaarfunktsioonid. Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid

Matemaatiline analüüs 1

6

pdf

Matemaatilise analüüsi I kollokviumi vastused

*Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a e teer v d fun t n f x õp ud ühep ed p rväärtu ed *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks. *Kui vaadeldakse suurusi f(Xo) ja eeldatakse 1 ja 2 punkti olemasolu. 20*(Pidevate funktsioonide omadusi)Funktsioon f(x) on pidev punktis X0 parajasti siis, kui see funktsioon on punkti X0 ü bru e e t t v uju f x f X0) + (x) , kus (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xxo. *Kui funktsioonid f1(x) ja f2(x) on pidevad punktis X0 ning C1,C2 R siis punktis X0 on pidevad ka funktsioonid C1 f1(x) + C2 f2(x) ja f1(x) f2(x) ning täiendaval tingimusel f2(x0)=/=0 ka funktsioon f1(x) /f2(x). Tõestus:

Matemaatika analüüs i

4

odt

Matemaatiline Analüüs I kollokvium spikker

mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Rangelt monotoonseks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas on kasvav või kahanev. Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f(x1) < f(x2). 1. Naidata, et hulgal X pidevate funktsioonide ruumis C(X) sobib normiks (rahuldab normi Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 aksioome) || f ||∞ := sup x∈X | f(x)|. ∈X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). 3. Jada definitsioon. Koonduvad jadad, jada piirväärtus. Jada piirväärtuse omadused. Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N = {1, 2, 3, . . .}

Matemaatiline analüüs

Meedia

Kommentaarid (0)