Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks (0)

1 Hindamata
Punktid

Esitatud küsimused

  • Milline on kvantmehhaanika rakenduspiirkond ?
  • Milles seisneb musta kiirguse mõistatus ?
  • Milles seisneb fotoefekti mõistatus ?
  • Milleks on vaja olekufunktsiooni normeerida ?
  • Mis on operaator ?
  • Mis on omaväärtus ?
  • Millises olekus on füüsikalisel suurusel täpne väärtus ?
  • Kuidas leida olekufunktsiooni järgi füüsikalist suuruste väärtuste tõenäosusi ?
  • Mis on lineaarne operaator ?
  • Mis on hermiit1iline operaator ?
 
Säutsu twitteris
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
1 
Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks 
 
Aine nimetus: Kvantmehhaanika 
 
Aine kood: MLT 6004 
 
Õppejõud: dots Ain Ainsaar 
 
Eksami aeg: 06.01.2005 
 
Kell: 11.00 
 
Auditoorium : K-123 
 
Konsultatsioon : 04.01.2005 
 
Kell: 10.00 
 
Auditoorium: P-512 
 
I OSA 
KVANTMEHHAANIKA PÕHIMÕISTED 
 
 

1.  Milline on kvantmehhaanika rakenduspiirkond? 
 
Kvantmehhaanika uurimisobjektiks on  mikroosakesed ja nende süsteemid. 
Makroskoopiliste kehade mõõtmed ja impulsid on nii suured, et nendega võrreldes on 
konstant  h kaduvväike. Seepärast võime makroskoopiliste kehade dünaamikas võtta 
lihtsalt h=0. 
Tingimus, et piirjuhul  → 0  peavad kvanmehhaanika seaduspärasused taanduma 
klassikalise mehhaanika seaduspärasusteks ( Bohri korrespondentsprintsiip). 
Klassikaline teooria baseerub järgmisel kahel seisukohal: 
 
1)  Kõik füüsikalist süsteemi iseloomustavad suurused (koordinaadid, impulsid, 
impulssmomendid, energia jne) võivad muutuda ainult pidevalt
2)  Kõiki nimetatud suurusi on põhimõtteliselt võimalik määrata süsteemi igas olekus 
kuitahes täpselt. 
 
Klassikalise süsteemi kohta on olemas maksimaalne informatsioon, kui on antud tema 
liikumisvõrrandid koos vastavate algtingimustega. Nendest andmetest saame arvutada 
kõik dünaamilised suurused mistahes ajahetkel. Klassikaliste algtingimuste valik 
tähendab süsteemi kõikide koordinaatide ja impulsside (ka üldistatud mõttes) väärtuste 
etteandmist mingil fikseeritud ajamomendil, s o süsteemi teatud olekus. 
Liikumisvõrrandite ühese lahendamise võimalus on seega seotud hüpoteesiga (2). 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
2 
Klassikaline kausaalsuse printsiip:  süsteemi olek, mis mistahes ajahetkel on 
määratud kõikide koordinaatide ja impulsside väärtustega, on põhjuslikult seotud 
olekutega eelnevatel ajahetkedel.
 
Kuna impulsside ja koordinaatide kaudu on arvutatavad kõikide teiste dünaamiliste 
suuruste väärtused, siis on ka kõik teised suurused põhimõtteliselt täpselt mõõdetavad 
mistahes ajahetkel. Mikromaailmas hüpoteesid (1) ja (2) ei kehti. 
Hüpoteesi (1) lükkavad ümber katsed, mis näitavad diskreetsete energiatasemete 
olemasolu mikrosüsteemides (aatomikimpude ergutamine, joonspektrid). 
Hüpotees (2) on vastuolus mikropartiklite dualistliku loomusega. 
Näiteks difraktsioonikatses ei ole põhimõtteliselt võimalik määrata difraktsioonivõre 
läbiva elektroni asukohta
Vastuoludeni jõuame samuti, kui tahame omistada trajektoori, st kindlaid 
koordinaatide väärtusi elektronile aatomi statsionaarses olekus (klassikalise aatomimudeli 
raskused). 
Katsed aatomitega jt mikrosüsteemidega näitasid,et peale energia esineb veel teisigi 
suurusi (nt inpulsimoment), mille väärtused võivad muutuda ainult hüppeliselt. 
Sellepärast nimetataksegi mikromaailma füüsikalistele nähtustele kohandatud teooriat 
kvantteooriaks. 
 
 
2.  Milles seisneb musta kiirguse mõistatus? 
 
 
Max Planck lõi 1900.a hüpoteesi energiakvantide olemasolu kohta. Selle hüpoteesi 
abil tuletas Planck katsega kooskõlas valemi absoluutselt musta keha (õõnesruumi) 
kiirgusenergia spektraalse jaotuse jaoks. 
(Aine aatomid kiirgavad elektromagnetilisi laineid . Samamoodi on võimalik, et keha 
neelab peale langevat valguskiirgust muundades seda soojuskiirguseks. Max Plancki 
arvutuste kohaselt peaks  Maxwelli laine teooria kohaselt keha jahtuma 0 K-ni. Aga tekib 
hoopis soojuslik tasakaal. Selles seisnebki musta kiirguse mõistatus.) 
Maxwelli elektromagnetlainete teooria osutus lühilainelises piirkonnas mõttetuks → 
keha oleks pidanud soojuskiirguse kiirgamisel pidama jahtuma 0 K-ni. 
Sellisest olukorrast leidis väljapääsu Max Planck
 
Aatomid kiirgavad elektromagnetenergiat üksikute portsjonitena – kvantidena. 
 
Iga portsjoni energia E on võrdeline kiirguse sagedusega: 
 
= ν
 (1) 
 
h – Plancki konstant 
Plancki loodud soojuskiirguse teooria oli eksperimendiga kooskõlas. Elektromagnet-
kiirgus tekib laengute võnkumise tulemusena. 
 
Soojuskiirgus – tekib suvalise aine/ioonide aatomite võnkumisel. Aatomite suure 
massi tõttu satuvad nn infrapunasesse diapasooni (10-5 m). 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
3 
Keha kuumutamisel kasvab ioonide võnkumise tulemusena tekkinud EM kiirguse 
sagedus. Iga keha kiirgab lakkamatult ning samal ajal ka neelab soojuskiirgust. 
 
Absoluutselt must keha – neelavad absoluutselt kogu neile langeva kiirguse. 
Planck kasutas oma hüpoteesis ning tuletas musta keha kiirgusvõime valemi, mis oli 
täielikus kooskõlas katsetulemustega. Teooria võrdlusest katsetulemusega leidis ta, et 
võrdetegur h peab valemis (1) olema võrdne 6,6·10-34 J·s. 
Aatomite energeetiline seisund saab olla vaid diskreetne  – aatomitel võib olla ainult 
selline energiahulk, mis sisaldab täisarvu elementaarseid energiaportsione hν. 
 
 
3.  Milles seisneb fotoefekti mõistatus? 
 
 
Fotoefekti põhiline seaduspärasus – fotoelektronide energia ei sõltu kiirgusvoo 
intensiivsusest, vaid kiirguse sagedusest – näitab, et antud juhul ei allu ka 
elektromagnetiline kiirgus (röntgenkiirgus, UV kiirgus) Maxwelli klassikalisele  teooriale. 
Viimase koha pealt peaks elektronidele üleantav energia olema just võrdeline voo 
intensiivsusega (laine amplituudi ruuduga ). Küsimuse lahendas A Einstein  
valguskvantide hüpoteesi abil. Sellele hüpoteesile vastavalt ei või elektromagnetiline 
laine oma energiat teistele kehadele üle anda mistahes hulgal, vaid ainult kogustes , mis 
on võrdeline laine sagedusega υ . Seejuures oletas einstein, et võrdetegur on  h  (Plancki 
konstant). 
Iga kvant on võimeline välja lööma ühe elektroni. Kui kvandi energia jääb alla 
punapiiri, siis pole kvandil niipalju energiat, et elektroni välja lüüa. Valgusel on 
dualistilik iseloom. 
Arvestades kvandi energia valemit: 
 
= υ
h , 
On selge, miks kvantefektid ilmnevad ainult lühilainelise kiirguse korral. Väikeste 
sageduste väärtuste puhul on ülekantav energia praktiliselt lõpmata väike, ja energia 
muutusi võib lugeda pidevateks. 
 
Fotoefektiks nimetatakse elektronide välja löömist ainest valguse mõjul. 
 
Spektri UV osa tekitab fotoefekti. Kui panna klaas ette, siis ei tekita ka 
suureamplituudiga UV kiirgus fotoefekti – klaas neelab UV kiirgust. 
Valgus lööb plaadi pinnast välja elektrone ja kui plaat on laetud negatiivselt, 
tõukuvad elektronid plaadist eemale ning elektroskoop tühjeneb. Plaadi positiivse laengu 
korral tõmmatakse valguse poolt välja löödud elektrone plaadi poole ja nad langevad 
plaadile tagasi. 
Laadimata kehas ehk elektriliselt neutraalses kehas on positiivse ja negatiivse laengu 
suurused võrdsed (vt joon 1a). Kui kehast lahkuv kasvõi üks elektron , laadub keha 
positiivselt, sest ühe positiivse iooni laeng jääb kompenseerimata. Erinimeliste laengute 
vahel mõjuv tõmbejõud tõmbab elektroni kehasse tagasi ja keha jääb ikka neutraalseks. 
MLT 6004 Kvantmehhaanika 
4 
Veelgi raskem on elektronil lahkuda positiivselt laetud kehast, sest siis tõmmatakse ta 
veelgi tugevamalt tagasi kui enne ja laeng ei muutu (joon 1c). 
Kui keha on laetud negatiivselt, siis lööb valgus elektroni kehast jäädavalt välja (joon 
1d). Laengu vähenemine kestab seni, kuni „üleliigne“ laeng on kehast lahkunud ja keha 
muutub neutraalseks. 
Väiksema sagedusega kiirgus ei tekita fotoefekti. Enamikel ainetel tekitab fotoefekti 
UV kiirgus või ultravioletne-sinine valgus, aga punane valgus ei tekita. Seepärast 
räägitakse fotoefekti punapiirist, so sellisest lainepikkusest (või sellele vastavast 
sagedusest), millest pikemad lained ei ole suutelised ainest elektrone vabastama: 
 
hc

max
A
 
 
4.  Planetaarse aatomimudeli raskused 
 
Planetaarse aatomimudeli suurim viga on see, et ta on õige üksnes mittekiirgava 
aatomi korral. 
Kuna elektron liigub aatomis ringorbiidil, siis peaks ta seetõttu pidevalt kiirgama st 
kaotama energiat ja lõpuks tuumale langema . Pöördruutsõltuvus 
2
~ −
 nõuab suurema 
tõmbejõu tasakaalustamiseks suuremat orbitaalkiirust, seetõttu väheneb tiirlemisperiood 
ja koos sellega kasvab kiiratava valguse sagedus. 
Tulemuseks on kahekordne vastuolu eksperimendiga: kõige pealt pole „ planetaarne ” 
aatom  stabiilne, teiseks, ta ei kiirga konstantsel sagedusel. 
 
5. Bohri postulaadid 
 
I Statsionaarsete orbiitide tingimus – elektron võib elektromagnetilist energiat 
kiirgamata tiirelda ainult mööda teatud kindlat orbiiti. 
 
II Kvantimise tingimus – lubatud orbiitide raadiused rn on määratud Bohri 

kvanttingimusega: 
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #1 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #2 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #3 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #4 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #5 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #6 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #7 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #8 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #9 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #10 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #11 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #12 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #13 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #14 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #15 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #16 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #17 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #18 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #19 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #20 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #21 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #22 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #23 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #24 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #25 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #26 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #27 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #28 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #29 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #30 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #31 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #32 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #33 Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks #34
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 34 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2014-01-07 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 5 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor Peeter Tamm Õppematerjali autor

Meedia

Mõisted

Sisukord

  • Kõik füüsikalist süsteemi iseloomustavad suurused (koordinaadid, impulsid
  • Klassikaline kausaalsuse printsiip
  • Soojuskiirgus
  • Absoluutselt must keha
  • Näide
  • Olekufunktsioon
  • Näiteks
  • Tõestus
  • Tõestame vastuväiteliselt
  • Selgitus

Teemad

  • MLT 6004 Kvantmehhaanika
  • Ettevalmistus kvantmehhaanika eksamiks
  • Aine nimetus: Kvantmehhaanika
  • Aine kood: MLT 6004
  • Õppejõud: dots Ain Ainsaar
  • Eksami aeg: 06.01.2005
  • Kell: 11.00
  • Auditoorium: K-123
  • Konsultatsioon: 04.01.2005
  • Kell: 10.00
  • Auditoorium: P-512
  • I OSA
  • KVANTMEHHAANIKA PÕHIMÕISTED
  • Milline on kvantmehhaanika rakenduspiirkond?
  • Kõik füüsikalist süsteemi iseloomustavad suurused (koordinaadid, impulsid
  • pidevalt
  • igas olekus
  • kuitahes täpselt
  • süsteemi olek, mis mistahes ajahetkel on
  • määratud kõikide koordinaatide ja impulsside väärtustega, on põhjuslikult seotud
  • olekutega eelnevatel ajahetkedel
  • Mikromaailmas hüpoteesid (1) ja (2) ei kehti
  • Milles seisneb musta kiirguse mõistatus?
  • Max Planck
  • Aatomid kiirgavad elektromagnetenergiat üksikute portsjonitena – kvantidena
  • Milles seisneb fotoefekti mõistatus?
  • Fotoefektiks nimetatakse elektronide välja löömist ainest valguse mõjul
  • punapiirist
  • Planetaarse aatomimudeli raskused
  • Bohri postulaadid
  • I Statsionaarsete orbiitide tingimus – elektron võib elektromagnetilist energiat
  • kiirgamata tiirelda ainult mööda teatud kindlat orbiiti
  • II Kvantimise tingimus – lubatud orbiitide raadiused r
  • on määratud Bohri
  • kvanttingimusega
  • elektroni mass
  • elektroni kiirus
  • lubatud ringorbiitide raadius
  • h = 6,63·10
  • J·s
  • n – peakvantarv
  • III Kiirguse postulaat – üleminekul ühest statsionaarsest olekust teise aatom
  • kiirgab (või neelab) elektromagnetilise energiakvandi
  • kus ν on kiirguse sagedus
  • aatomi algoleku energia
  • aatomi lõppoleku energia
  • Elektroni difraktsioonikatse järeldused
  • Kvantmehhaanilise oleku kirjeldamine
  • Näide
  • Mikroobjekti olek on defineeritud välistingimustega ja objekti iseloomustavate
  • kõikide füüsikaliste suuruste tõenäosusjaotusega
  • Kõik füüsikalised suurused, millel antud tingimustes on kindlad väärtused
  • moodustavad nende tingimuste korral samaaegselt mõõdetavate füüsikaliste suuruste
  • täieliku kompleksi
  • Kõikide teiste suuruste kohta ütleme, et nad ei ole eelmistega
  • samaaegselt mõõdetavad
  • kvantmehhaanilne olek ei määra üheselt kõikide suuruste arvulisi väärtusi
  • kausaalsete seoste olemasolu
  • tõenäosuste vahel
  • Milleks on vaja olekufunktsiooni normeerida?
  • Kuidas normeeritakse olekufunktsiooni
  • Olekufunktsiooni nõutavad omadused
  • olekud
  • olekufunktsiooni
  • võib olla
  • Oleku määrab ψ kuju, mitte arvuline väärtus
  • olekufunktsioon on määratud normeerimisteguri
  • ja faasikordaja täpsuseni
  • olekufunktsiooni norm peab nullist erinema
  • normeeritud oleku funktsiooni absoluutväärtuse ruut annab tõenäosuse
  • tiheduse (diskreetse q korral tõenäosuse) arvulise väärtuse
  • Superpositsiooni printsiip
  • Näiteks
  • Hilberti
  • ruumiks
  • Sõltumatute osakeste süsteemi olekufunktsioon
  • Sõltumatute osakeste tõenäosuse korrutub. Kuid kui osakesed on omavahel
  • interaktsioonis, siis korrutada ei tohi
  • Mis on operaator?
  • Igale füüsikalisele suurusele seatakse vastavusse teatud lineaarne operaator, mida
  • rakendatakse olekufunktsioonile. Selle operaatori omaväärtused annavad vastava
  • füüsikalise suuruse arvulised väärtused, s o mõõtmistulemused teatud olekutes
  • omaväärtuste spektriks
  • omaväärtusteks
  • Näiteks
  • Mis on omaväärtus?
  • Millises olekus on füüsikalisel suurusel täpne väärtus?
  • Kuidas leida olekufunktsiooni järgi füüsikalist suuruste väärtuste tõenäosusi?
  • Kvantmehhaaniliste operaatorite üldised omadused
  • lineaarsed
  • hermiitilised
  • Kui kehtib seos
  • nimatatakse operaatorit enesekaasseks ehk hermiitiliseks
  • antihermiitiliseks
  • hermiitilise
  • operaatori kõik omaväärtused on reaalsed
  • Tõestus
  • kõikidele reaalsete füüsikalistele suurustele vastavusse
  • seatavad operaatorid olema hermiitilised
  • Mis on lineaarne operaator?
  • Mis on hermiit1iline operaator?
  • Omafunktsioonide omadused
  • Teoreem 1
  • Erinevatele omaväärtustele vastavad hermiitilise operaatori
  • omafunktsioonid on ortogonaalsed
  • Tõestus
  • Teoreem 2: Hermiitilise operaatori erinevatele omaväärtustele vastavad
  • omafunktsioonid on lineaarselt sõltumatud
  • Funktsioonide ortogonaalsus
  • Erinevatele omaväärtustele vastavad hermiitilise operaatori omafunktsioonid on
  • ortogonaalsed (st asetsevad risti)
  • ortonormeeritud süsteemiks (ON- süsteem)
  • Funktsioonide lineaarne sõltumatus
  • Hermiitilise operaatori erinevatele omaväärtustele vastavad omafunktsioonid on
  • lineaarselt sõltumatud
  • Ortonormeerituse tingimus diskreetse ja pideva spektri korral
  • Selgitus
  • diskreetse spektri
  • δ-funktsiooni abil saame
  • normeerida” niisuguse operaatori omafunktsioone, mille omaväärtuste spekter on
  • pidev
  • Delta funktsioon
  • peab olema null
  • Joonis 1 Deltafunktsiooni kõige lihtsam esitus
  • Joonis 2 Gaussi jaotuse deltafunktsiooni esitlus
  • Joonis 3 Weierstrassi teoreemi deltafunktsiooni esitlus
  • δ-funktsiooni abil saame „normeerida” niisuguse operaatori omafunktsioone, mille
  • omaväärtuste spekter on pidev
  • Joonis 4 Normeeritud omafunktsioon deltafunktsioonina
  • Funktsioonide süsteemi täielikkus
  • täielikuks süsteemiks
  • kõikide kvantmehhaaniliste operaatorite omafunktsioonide süsteemid
  • peavad olema täielikud
  • Kui mistahes normeeritud
  • olekufunktsiooni arendame mõnesuguse operaatori täieliku ON-süsteemi
  • moodustavate omafunktsioonide järgi ritta, siis on arenduse kordajateks vastava oleku
  • esinemise tõenäosuse amplituudid
  • lõpliku normiga
  • ortonorm
  • Operaatorite korrutis ja kommutaator
  • Teoreem 1: Kui kahe operaatori korrutis on kommutatiivne, siis on nendel
  • operaatoritel ühine täielik omafunktsioonide süsteem
  • Teoreem 2: Kui kahel operaatoril on ühine täielik omafunktsioonide süsteem, siis
  • need operaatorid kommuteeruvad
  • kommuteeruvad operaatorid vastavad samaaegselt mõõdetavatele füüsikalistele
  • suurustele
  • Teoreem 3:Kui operaator kommuteerub operaatoriga ja operaatoriga
  • kusjuures
  • omavahel ei kommuteeru, siis operaatori omaolekud on
  • kõdunud
  • Teoreem 4: Kahe hermiitilise operaatori korrutis on hermiitiline ainult siis, kui
  • need operaatorid kommuteeruvad. Mittekommuteeruvate operaatorite korrutis võib
  • lahutada hermiitiliseks ja antihermiitiliseks osaks
  • Poissoni sulud ja kommutaatorid

Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri


Sarnased materjalid

31
rtf
Põhivara aines Füüsikaline maailmapilt
109
doc
Füüsikaline maailmapilt
29
doc
Põhivara füüsikas
13
pdf
Kvantmehaanika 2
28
doc
põhivara aines füüsikaline maailmapilt
990
pdf
Maailmataju ehk maailmapilt 2015
343
pdf
Maailmataju uusversioon
83
doc
Füüsika eksami küsimuste vastused





Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !