Plaanid puhkusele minna? Võta endale majutus AirBnb kaudu ja saad 37€ kontoraha Tee konto Sulge
Facebook Like

Enno Paisu konspekt (1)

1 Hindamata
Punktid
 
Säutsu twitteris
Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Pöördfunktsioon.
Seaduspärasust või teisendust, mis igale X elemendile x seab vastavuse ühe hulga Y elemendi y nim. argumendi x funktsiooniks ja kirjutatakse y=f(x)
Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks on kõigi nende argumendi x väärtuste hulk, mille korral funktsioon omab mõtet ja on lõpliku väärtusega.
Funktsiooni väärtuste hulgaks nim. nende väärtuste hulka, mida funktsioon omandab, kui läbib kogu määramispiirkonna.
Tingimused, mis peavad olema täidetud elementaarfunktsioonide kaudu esitatud reaalmuutuja funktsioonil: B ( x) 1) A( x) 0 A( x) 2) 2 x A( x) A( x) 0 3) logaA(x) A(x) >0 arcsin A( x) 4) -1 A( x) 1 arccos A( x)
Funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nim. f-ni y=g(x), mis igale funktsiooni f väärtusele y seab vastavusse need argumendi x väärtused, mille korral y=f(x)
Olgu funktsioonid y=f(x) ja y=g(x), siis väärtus y on teisendatud argumendi x liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks y=f[g(x)]=f*g(x)
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 1 Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste kohta (tõestusega).
Arv a on funktsiooni y=f(x) piirväärtuseks tingimusel, et xx0, kui >0, () >0, et 0Selleks, et funktsioonil y = f (x) oleks piirväärtus, kui xx0 on piisav ja tarvilik, et eksisteeriksid ühepoolsed piirväärtused ja et nad oleks võrdsed. lim f ( x) = lim f ( x) = a x x0 - 0 x x0 + 0
Teoreemid piirväärtuste kohta.
Teoreem 1 Selleks, et funktsioonil oleks piirväärtus on piisav ja tarvilik, et funktsiooni saaks esitada kujul f ( x) = a + ( x) , (x) on lõpmatult vähenev suurus, s.t. lim ( x) = 0 x x0
Tõestus: 1) Piisavus f ( x) = a + ( x) lim f ( x) = a x x0
Tõepoolest: lim f ( x) = lim (a + ( x) ) = a + lim ( x) = a x x0 x x0 x x0
>0, () >0, et 00, () >0, et 02) Tarvilikkus: lim f ( x) = a f ( x) = a + ( x) x x0
Vastavalt piisavuse definitsioonile >0, () >0, et 0m.o.t.t.
Teoreem 2 Olgu olemas piirväärtused lim f ( x) = a , lim g ( x) = b , siis x x0 x x0
1) lim [ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) = a ± b x x0 x x0 x x0
2) lim f ( x) g ( x) = lim f ( x) lim g ( x) = a × b x x0 x x0 x x0
lim f ( x) f ( x ) x x0 a 3) lim = = , kus b 0 x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0
Tõestus: lim f ( x) = a , lim g ( x) = b 0 x x0 x x0
lim f ( x) f ( x ) x x0 a lim = = x x0 g ( x ) lim g ( x) b x x0
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 2 f ( x) a f ( x) a a bf ( x) - ag ( x) = + - = + g ( x) b g ( x) b b bg ( x) Vastavalt teoreemile 5.1 saame f ( x) = a + ( x) , g ( x) = b + ( x) , kus (x) , ( x) 0 , kui xx0 bf ( x) - ag ( x) b(a + ( x)) - a(b + ( x) b ( x) - a ( x) = = bg ( x) b(b + ( x)) b(b + ( x)) b (x) , a (x) on lõpmatult vähenev suurus (a ja b on tõestatud) 1 b(b + ( x)) b 2 0 , seega M b(b + ( x)) Seega (x) on lõpmatult vähenev suurus, kui xx0, f ( x) a f ( x) a siis = + ( x) , mis tähendabki, et lim = g ( x) b x x0 g ( x ) b m.o.t.t.
Teoreem 3 (kahe politseiniku teoreem) Olgu punkti x0 teatud ümbruses U r ( x) = ]x 0 - r ; x 0 + r [ , kehtivad võrratused (5.1) f ( x) h( x) g ( x) ja olgu lim f ( x) = a , lim g ( x) = a x x0 x x0
siis eksisteerib lim h( x) = a x x0
Tõestus: Vastavalt piirväärtuse definitsioonile >0, 1() >0, et 00, 2() >0, et 00, () >0, et 0m.o.t.t.
Teoreem 4 Olgu punkti x0 teatud ümbruses kehtiv võrratus f(x) >0 Kui funktsioonil f (x) on piirväärtus tingimusel, et x x 0 , siis piirväärtus peab olema mittenegatiivne lim f ( x) = a 0 x x0
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 3 Tõestus: Oletame, et a>0 Siis f ( x) - a a , sest f(x)0 a>0 Kuid teoreemi (5.1) järgi peab f(x) - a olema lõpmatult vähenev suurus ja seega muutub kui tahes väikeseks Seega a>0 on võimatu ja a0 m.o.t.t.
Järeldus 5.1 Kui on täidetud võrratus f(x) >g(x) punkti x0 ümbruses ja funktsioonide f(x) ja g(x) piirväärtused eksisteerivad, siis lim f ( x) lim g ( x) x x0 x x0
Tõepoolest h(x)= f(x)- g(x) 0
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 4 Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk.
Definitsioon 1 Funktsiooni (x) nim. lõpmatult vähenevaks suuruseks tingimusel, et xx0, kui lim ( x) = 0 x x0
Piirväärtuse definitsiooni kohaselt >0, () >0, et 0Teoreem 1 Lõpliku arvu lõpmatult vähenevate väärtuste summa on samuti lõpmatult vähenev suurus 1+ 2+ ...+n=(x) lim ( x) = 0 x x0
Definitsioon 2 Funktsioon f(x) on tõkestatud hulgal A, kui leidub selline positiivne konstant M, et f ( x) M , kui x A
Teoreem 2 Lõpmatult väheneva suuruse ja tõkestatud suuruse korrutis on lõpmatult vähenev suurus Tõestus: Olgu lim ( x) = 0 x x0
f ( x) M , kui x ]x 0 - r ; x 0 + r [ ( x) = ( x) × f ( x) Vastavalt def. >0, () >0, et 00, () >0, et 0Olgu kaks lõpmatult vähenevat suurust ( x ) ja ( x) , kui x x 0 , s.t. lim ( x) = 0 , lim ( x) = 0 x x0 x x0
Võrdlemine: 0, siis ( x) järk > ( x) järk ( x) (8.1) lim = , siis ( x) järk Definitsioon 3 Lõpmatult väheneva suuruse (x) järguks nim. sellist arvu n, mille korral ( x) lim = r 0, x x0 ( x - x ) n 0
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 5 sin x Piirväärtus lim =1 (tõestusega). Arv e ja piirväärtus lim (1 + x ) 1 x =e x 0 x x
sin x Piirväärtus lim . x 0 x OB = 1 S OAB S OAB S OAC S OAB = 12 × 1 × sin x S OAB = 12 × 1 × x S OAC = 12 × 1 × tan x sin x x tan x 2 × 2 2 2 sin x 1 sin x cos x , siit saame, et 1 sinx x cos x (need võrratused kehtivad ka siis, kui x 1 - n1-1 Ja liikmete arv kasvab ühe võrra, kuna (1 + 1 n ) (1 + 1 n n +1 ) (1 + n1+1 )n +1 (1 + )(1 + ) 1 1 n (1 + ) > 1 x n n x (1 + n1+1 ) Leiame piirväärtused lim(1 + 1n )(1 + 1n ) = 1 e = e n x
(1 + n1+1 )n +1 e lim = =e x (1 + 1 ) 1 n +1
Kahe politseiniku teoreemi põhjal saame, et eksisteerib piirväärtus lim (1 + 1 x x ) =e x
2) Olgu x - Tähistame x = -( y + 1) Kui x - y + lim (1 + 1x ) = lim 1 + x - x ( 1 ) - ( y +1) - y -1 = lim ( ) y - y -1 x + y +1 ( = lim 1 + x + y ) (1 + ) = e 1 y 1 y x + m.o.t.t.
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 7 Funktsiooni pidevus. Ühepoolsed piirväärtused, katkevuspunktid. Teoreemid lõigul pideva funktsiooni kohta.
Definitsioon 1 Funktsioon y =f(x) on pidev punktis x0, kui kehtib (9.2) lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0
Teiste sõnadega >0, () >0, et 0Funktsioon on pidev vasakult punktis x0, kui (9.2)` lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0 - 0
Definitsioon 2 Funktsioon y =f(x) on pidev antud vahemikus (lahtine hulk), kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis Funktsioon y =f(x) on pidev antud lõigul [a, b] , kui ta on pidev vahemikus ]a, b[ , on pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b Elementaarfunktsioonid on pidevad kogu oma määramispiirkonnas
Definitsioon 3 Funktsiooni y=f(x) piirväärtus vasakult xx0 märgitakse lim f ( x) = b x x0 - 0
seejuures xx0 nii, et xx0 Neid piirväärtusi nimetatakse ühepoolseteks
Definitsioon 4 Katkevuspunktideks nim. argumendi x väärtuseid, mille korral funktsioon ei ole pidev, kuid nende punktide piisavalt väikeses ümbruses on pidev
Katkevuspunktide liigid: Olgu katkevuspunkt x0 ja lim f ( x) = A , lim f ( x) = B x x0 - o x x0 + o
1) A=B, kuid f(x) ei ole määratud punktis x0 Punkti x0 nim. kõrvaldatavaks katkevuspunktiks Kui defineerida, et f ( x 0 ) = lim f ( x) = A = B , siis saame funktsiooni, mis on pidev kohal x0 x x0
2) A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid seejuures A B Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt ehk hüppekoht 3) Kus A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse Punkti x0 on II liiki katkevuskoht
Teoreem 1 Olgu funktsioonid y =f(x) ja y =g(x) pidevad hulgal M. Siis on pidevad ka funktsioonid: 1) f(x)+ g(x) 2) f ( x) g ( x) f ( x) 3) , kus g ( x) 0 , kui x M g ( x) Tõestus järeldub vastavast teoreemist piirväärtuste kohta.
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 8 Teoreem 2 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis leidub vähemalt üks niisugune punkt x1 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma suurima väärtuse ja samuti vähemalt üks punkt x 2 [a, b] , kus funktsioon saavutab oma vähima väärtuse sellel lõigul. f ( x1 ) = sup f ( x), x1 [a, b] = M (10.1) f ( x 2 ) = inf f ( x), x 2 [a, b] = m Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k
Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)0, () >0, et 00, () >0, et 0Märkus: Teoreemi 11.1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mitte- diferentseeruv .
Definitsioon 2 Funktsioon on diferentseeruv punktis x, kui tal on tuletis selles punktis. Funktsioon on diferentseeruv mingis vahemikus, kui ta on diferentseeruv selle vahemiku igas punktis.
Kui x 0 , siis lõikaja PQ muutub puutujaks PT ja nurk y y ' = lim = lim tan = tan x 0 x x 0
Tuletis y' on geomeetriliselt võrdne kõverjoone y =f(x) tõmmatud puutuja tõusuga (tõusunurga tangensiga)
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 10 k = tan = y ' Sirge võrrand, mis läbib punkti A (x0,y0) tõusuga k on y - y 0 = k ( x - x 0 ) Kõverjoone y =f(x) puutuja punktis x=x0 y - y 0 = y ' ( x 0 )( x - x 0 ) , kus y 0 = f ( x 0 ) 1 Kaks sirget tõusudega k1 ja k2 on risti siis ja ainult siis, kui k1 × k 2 = -1 ehk k 2 = - k1 1 Seega normaali võrrand kõverjoonel y =f(x) on y - y 0 = - ( x - x0 ) y' ( x0 )
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 11 Teoreem diferentseeruva funktsiooni pidevusest (tõestusega).
Teoreem 1 Olgu funktsioonil y = f (x) tuletis kohal x Siis see funktsioon on pidev selles punktis.
y Tõestus: Vastavalt eeldusele eksisteerib piirväärtus y ' ( x) = lim x 0 x
y Siit järeldub = y ' ( x) + (x) , kus lim (x) = 0 x x 0
Seega y = y ' ( x) x + (x) x lim f ( x) = f ( x 0 ) x x0
>0, () >0, et 00, () >0, et 0Märkus: Teoreemi 1 pöördteoreem ei pea paika. Funktsioon võib olla pidev, kuid mittediferent- seeruv.
© 2001 - Ivari Horm (ranger@deepdust.com), Toomas Sarv 12 Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis (tõestusega).
Teoreem 1 Olgu funktsioonil u(x) tuletis punktis x ja funktsiooni f(n) tuletis punktis n Sel juhul on tuletis ka liitfunktsioonil f [u (x)] (13.1) ( f [u ( x)]) = f u' u ' '
Tõestus: f f u f lim = lim , kuna f u' = lim x 0 x x 0 u x x 0 u
u u ' = lim , x 0 x
f u siis x 0 u 0 f 0 = lim lim = f u' u ' x 0 u x 0 x
m.o.t.t.
Teoreem 2 Kui funktsioon y = f (x) on diferentseeruv punktis x , siis selle pöördfunktsioon x = g ( y ) on samuti diferentseeruv punktis y ( y = f ( x))
Seejuures nende tuletiste vaheline seos on järgmine 1 f ' ( x) = g ' ( y)
Tõestus: Eelduse kohaselt eksisteerib tuletis x 1 1 1 y ' = f ' ( x) = lim = lim x = lim g ( y + y ) - g ( y ) = lim x 0 y x 0 x 0 x 0 g ' ( y ) y y
y = f ( x) x = g ( y ) x = g (y ) m.o.t.t.
Näited: cos y = ± 1 - sin 2 x = ± 1 - x 2 1. y = e x y = ln x Samuti on (e x )' = e x e y = e ln x = x 1 (cos)' = - 1 1 1 1- x2 (ln x)' = x = y = (e )' e x Analoogselt 3. y = tan x y = arctan x 1 1 (a x )' = a x ln a (log a x)' = (tan x)' = y = tan(arctan x) = x x ln
80% sisust ei kuvatud. Kogu dokumendi sisu näed kui laed faili alla
Vasakule Paremale
Enno Paisu konspekt #1 Enno Paisu konspekt #2 Enno Paisu konspekt #3 Enno Paisu konspekt #4 Enno Paisu konspekt #5 Enno Paisu konspekt #6 Enno Paisu konspekt #7 Enno Paisu konspekt #8 Enno Paisu konspekt #9 Enno Paisu konspekt #10 Enno Paisu konspekt #11 Enno Paisu konspekt #12 Enno Paisu konspekt #13 Enno Paisu konspekt #14 Enno Paisu konspekt #15 Enno Paisu konspekt #16 Enno Paisu konspekt #17 Enno Paisu konspekt #18 Enno Paisu konspekt #19 Enno Paisu konspekt #20 Enno Paisu konspekt #21 Enno Paisu konspekt #22 Enno Paisu konspekt #23 Enno Paisu konspekt #24 Enno Paisu konspekt #25 Enno Paisu konspekt #26 Enno Paisu konspekt #27 Enno Paisu konspekt #28 Enno Paisu konspekt #29 Enno Paisu konspekt #30 Enno Paisu konspekt #31 Enno Paisu konspekt #32 Enno Paisu konspekt #33 Enno Paisu konspekt #34 Enno Paisu konspekt #35 Enno Paisu konspekt #36 Enno Paisu konspekt #37 Enno Paisu konspekt #38 Enno Paisu konspekt #39 Enno Paisu konspekt #40 Enno Paisu konspekt #41 Enno Paisu konspekt #42 Enno Paisu konspekt #43 Enno Paisu konspekt #44 Enno Paisu konspekt #45 Enno Paisu konspekt #46 Enno Paisu konspekt #47 Enno Paisu konspekt #48 Enno Paisu konspekt #49 Enno Paisu konspekt #50 Enno Paisu konspekt #51
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 51 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2008-05-24 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 165 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor barca10 Õppematerjali autor

Mõisted


Kommentaarid (1)

ultraGo profiilipilt
ultraGo: tänud materjali eest
00:37 08-10-2008


Sarnased materjalid

51
pdf
Matemaatilise analüüsi konspekt
54
docx
Arvutid konspekt
37
docx
Matemaatiline analüüs l
10
doc
Matemaatiline analüüs I konspekt - funktsioon
32
pdf
Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID
4
doc
Matemaatiline analüüs - teooria spikker
35
pdf
Mitmemuutuja funktsioonid
16
docx
J-Kurvitsa teooria vastused





Faili allalaadimiseks, pead sisse logima
Kasutajanimi / Email
Parool

Unustasid parooli?

UUTELE LIITUJATELE KONTO MOBIILIGA AKTIVEERIMISEL +50 PUNKTI !
Pole kasutajat?

Tee tasuta konto

Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun