Elementaarmatemaatika 1. teooria (0)

Tartu Ülikool - Matemaatika - Elementaarmatemaatika 1

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Kuidas võrrelda kompleksarve?
Millise arvuga tuleks arvu a astendada et saada arv x?
Miks viimane teadmine on eriti kasulik?
Milleks see viimane oluline?
Millal kasutatakse sõnaühendit "siis ja ainult siis"?
Millal öeldakse et on antud mõiste tunnus?
Miks on kõõlnelinurgad?

Lõik failist

Mõistete definitsioonid ; selgitavad joonised, tekstid

Arvuhulga järjestatus- Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas
a > b , a = b või a

Arvuhulga tihedus- Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui tema iga kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve

Arvuhulga kinnisus tehte suhtes- Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus

Arvuhulga pidevus- Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev

Vastandarv - Naturaalarvu n vastandarvuks nimetatakse sellist arvu -n, mis rahuldab võrdust n + ( -n ) = 0.

Täisarvude hulk-

Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga osahulk

Z = {....-2; -1; 0; 1; 2; ......}

Jaguneb naturaalarvudeks ja negatiivseteks arvudeks

Murdarvud-
Kui täisarv a jagub täisarvuga b, siis on jagatis täisarv, kui aga ei jagu, siis nimetame saadud arvu murdarvuks ja tähistame sümboliga
( reaalarvu , mis ei ole täisarv.)

Ratsionaalarvude hulk- Täisarvud koos murdarvudega moodustavad ratsionaalarvude hulga

Irratsionaalarv- Lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud

Reaalarvude hulk- Irratsionaalarvud koos ratsionaalarvudega moodustavad reaalarvude hulga.

Kompleksarv-
Arve kujul a+ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaarühik, nimetatakse kompleksarvudeks. Kõikide kompleksarvude hulka tähistatakse sümboliga C

Kompleksarvu moodul -

Kompleksarvule vastava punkti kaugust komplekstasandi nullpunktis nimetame kompleksarvu mooduliks

Punktile P vastava kompleksarvu moodul

Ehk üldkujul: kompleksarvu a+bi moodul on

Kompleksarvu geomeetriline esitus-

Kujutada ühel teljel pole võimalik, kuna omab nii reaal - kui ka imaginaarosa (mõlemad reaalarvud)

Kujutame siis teljestikus (x;y). Nimetame teljestikule vastavat tasandit komplekstasandiks. Telgi vastavalt

Reaaltelg ja (x- telg )

Imaginaartelg (y-telg)

Kuidas võrrelda kompleksarve? Pole järjestatud hulk. Aga ikkagi …

Kompleksarvu trigonomeetriline kuju-

Kujutagu punkt P kompleksarvu z=a+bi

Avaldame joonisel olevast täisnurksest kolmnurgast reaalosa a ja imaginaarosa b nurga (kompleksarvu argument) ja mooduli kaudu ning asendame algebralisel kujul antud kompleksarvu.

Saame:

Paneme tähele, et lisades nurgale täispöördeid, saame alati sama kompleksarvu, seega ka

Funktsiooni mõiste-

Piirdume vaid arvuhulkadel määratud funktsioonidega.

Kui igale arvule x hulgast X on mingi eeskirja f järgi seatud vastavusse üks kindel arv y hulgast Y, siis öeldakse, et hulgas X on määratud funktsioon y=f(x) ja seda kirjutatakse kujul y=f(x) , kus x∈X.

(Igale punktide arvule kontrolltöös …, igale läbitud kilomeetrite arvule taksosõidus …)

Muutujat x nimetatakse funktsiooni argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja muutujat y temast sõltuvaks muutujaks, e funktsiooni väärtuseks.

X – funktsiooni määramispiirkond.

Y={ y I y = f (x), x ∈ X} funktsiooni muutumispiirkond .

MÕISTE 2:

Funktsioon on antud, kui on antud eeskiri ja määramispiirkond. Kui viimast pole antud, siis on tavaliselt määramispiirkonnaks kõigi argumentide hulk, kus eeskiri on rakendatav.

Võimalik punkide arv kontrolltöös, läbitud kilomeetrid 0 kuni… y=a:x

Funktsioon on ühene vastavus

Igale vastab üks, mitte ühelegi kahte või enamat

Funktsiooni kasvamine vahemikus-

Kui mingis vahemikus argumendi väärtuste suurenedes ka funktsiooni väärtused suurenevad, siis see funktsioon on selles vahemikus kasvav.

Näitame, et a>0 korral funktsioon on kasvav, a1. Kahanev, kui 00 ja x>0, siis ühe suuruse muutudes mingi arv korda muutub teine suurus vastupidises suunas sama arv korda. 100 km läbimiseks kuluv aeg ja kiirus, sama pindalaga ristküliku pikkus ja laius

Funktsiooni graafiku lüke vektoriga (0;a), graafik , valem

Teeme funktsiooni y=4/x graafikule lükke vektoriga (0;2)

Valem: (x;y)-------(x;y+a)

Iga argumendi väärtuse korral liidetakse funktsiooni väärtusele a.

f(x) f(x)+a

Funktsiooni graafiku lüke vektoriga (a;0), graafik , valem

Teeme funktsiooni y=4/x graafikule lükke vektoriga (2;0)

Valem (x;y)-----(x+a;y)

Graafik nihkub paremale (a>0), vasakule (a1. Kahanev, kui 0

Lae alla, et näha rohkem ▪ ▪ ▪

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 18 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2014-01-05 Kuupäev, millal dokument üles laeti

63 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Signesne Õppematerjali autor

graafik teoreem täisarv kolmnurga loga kompleksarvu rööpkülik pöördteoreem naturaalarv reaalarvud ratsionaalarv määramispiirkonna

Sarnased õppematerjalid

pdf

Matemaatika eksami teooria 10. klass

Matemaatika eksami teooria Reaalarvud 1.1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud · Naturaalarvude hulk N (ainult positiivsed täisarvud) · Naturaalarvu n vastandarv -n defineeritakse selliselt, et n+(-n)=0 · Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z (jaguneb pos ja neg) · Iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv · Kui arv a ei jagu arv b-ga, siis on tegemist murdarvuga. Kõik täisarvud ja positiivsed ning negatiivsed murdarvud

Matemaatika

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

docx

Matemaatiline maailmapilt

1. LOENG Sissejuhatus Lausearvutus: Teoreemid sõnastatakse tavaliselt kujul: ,,Kui A, siis B". Teoreemi osa A, mis on seotud sõnaga kui, nimetatakse teoreemi eelduseks, ja osa, mis on seotud sõnaga siis, väiteks. Näide: Kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on null. Näide: Kui nurgad on kõrvunurgad, siis nende summa on 180o. Teoreemi tõestamine tähendab selle näitamist, et eeldusest A järeldub väide B. Tõestamisel lähtutakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest. Vahetades teoreemis ,,Kui A, siis B" eelduse ja väite, saame lause ,,Kui B, siis A". Seda lauset nimetatakse antud lause pöördlauseks. Kui lause kehtib, siis selle lause pöördlause ei pruugi kehtida. Näide: Lause: ,,Kui arv lõpeb nulliga, siis ta jagub viiega" (kehtib). Pöördlause: ,,Kui arv jagub viiega, siis ta lõpeb nulliga" (ei kehti). Näide: Lause: ,,Kui kolmnurga kül

Matemaatika

pdf

8. klassi raudvara: PTK 3

3.ptk Defineerimine ja tõestamine 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkade ühisosa - ühised elemendid; Ül.564 tähis ; NB tehe hulkadega 2.Hulkade ühend - hulk, millesse kuuluvad Ül.567 ühe hulga kõik elemendid ja teise hulga need elemendid, mis esimesse hulka ei kuulunud; tähis ; NB tehe hulkadega 3.Matemaatilised sümbolid - hulkade ühisosa matemaatikale iseloomulik hulkade ühend nn.kokkuleppeline keel, et teksti lühidalt element kuulub hulka kirja panna (võit ajas ja ruumis) element ei kuulu hulka sidesõna "ja" sidesõna "või" hulga osahulk, "ei ole osahulk" kriipsutatakse sama tähis läbi järeldusmärk

Matemaatika

doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle

Matemaatiline analüüs i

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....

Matemaatika

doc

Valemid ja mõisted

MATEMAATIKA TÄIENDÕPE VALEMID JA MÕISTED KOOSTANUD LEA PALLAS 1 2 SAATEKS Käesolev trükis sisaldab koolimatemaatika valemeid, lauseid, reegleid ja muid seoseid, mille tundmine on vajalik kõrgema matemaatika ülesannete lahendamisel. Kogumikus on ka mõned kõrgema matemaatika õppimisel vajalikud mõisted, mida koolimatemaatika kursuses ei käsitletud.. 3 KREEKA TÄHESTIK - alfa - nüü - beeta - ksii - gamma - omikron - delta - pii - epsilon - roo - dzeeta - sigma - eeta - tau - teeta - üpsilon - ioota - fii - kapa - hii - lambda - psii - müü - oomega

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

Rohkem sarnaseid