Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse Registreeri konto
✍🏽 Avalikusta oma sahtlis olevad luuletused! Luuletus.ee Sulge

Eksponentvõrratused - sarnased materjalid

rratus, lesanne, ruutv, lahendiks, eksponentfunktsioon, idetud, lahendid, rrandi, avaneb, esialgse, lepikult, lahendihulk, monotoonsusest, kummalgi, lesandeks
thumbnail
10
ppt

Logaritmvõrratused

0 < a < 1 korral aga võrratusega 0 < f ( x) < g ( x). Ülesanne 1 Lahendada võrratus log 3 ( x - 2) 2. Lahendus Kuna log 3 9 = 2 siis võime algse võrratuse ümber kirjutada nii: log 3 ( x - 2) log 3 9. Kuna logaritmi alus 3 > 1, siis logaritmfunktsiooni monotoonsuse tõttu x - 2 9, millest saame lahendi: x 11. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 11}. Ülesanne 2 Lahendada võrratus log1/ 3 ( x + 1) -3. Lahendus Kuna log1/ 3 27 = -3, siis on algne võrratus samaväärne järgnevaga: log1/ 3 ( x +1) log1/ 3 27 Kuna ühest väiksema alusega logaritmfunktsioon on kahanev, siis x +1 27, millest x 26. VASTUS Võrratuse lahendiks on hulk X = {x : x 26}.

Matemaatika
54 allalaadimist
thumbnail
17
ppt

Võrratused

nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb samaks. Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21. Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21. Võrratuse lahend Kui võrratus sisaldab muutujat, siis saame rääkida võrratuse lahendamisest. Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille korral võrratus osutub tõeseks nim. võrratuse lahendeiks ja kõiki koos võrratuse lahendihulgaks. Võrratuse lahendid on enamasti reaalarvude piirkonnad. Reaalarvude piirkondade märkimiseks kasutatakse järgnevaid sümboleid: Lõik axb x[a;b] Vahemik ab

Matemaatika
241 allalaadimist
thumbnail
14
pdf

Võrratused

2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi.

Matemaatika
138 allalaadimist
thumbnail
8
doc

VÕRRATUSED

a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x ­ 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ). 5x - 6 x - 5 Näide 2. Lahendada võrratus 2- > 3 2 Korrutame võrratuse mõlemad pooled 6-ga 2· 6 ­ 2(5x ­ 6) > 3(x ­ 5), 12 ­ 10x + 12 > 3x ­ 15 Viime muutujaga liikmed vasakul, vabaliikmed paremale poolele ja koondame sarnased liikmed:

Matemaatika
10 allalaadimist
thumbnail
6
docx

Ruutvõrratused

2.4 RUUTVÕRRATUS Ühe muutujaga ruutvõrratuse üldkuju on ax2 + bx + c > 0, kus a 0. Märgi > asemel võib võrratuses olla ka üks märkidest <, , . Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0; 2) skitseerime parabooli y = ax2 + bx + c; 3) leiame jooniselt, kus funktsiooni väärtused positiivsed, kus negatiivsed. Ruutfunktsiooni y = ax2 + bx + c graafik on parabool. Kui a > 0, siis avaneb parabool ülespoole. Kui a < 0, siis avaneb parabool allapoole. Kui lahendame ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0, siis on kolm erinevat võimalust: A) Diskriminant D = b2 ­ 4ac > 0. Parabool lõikab sel juhul x ­ telge kahes erinevas punktis. ax2 + bx + c > 0 L = (­ ;x1) (x2; ) ax2 + bx + c >0 L = (x1; x2) 1 B) Kui diskriminant D = 0, siis on ruutvõrrandil kaks võrdset reaalarvulist lahendid

Matemaatika
90 allalaadimist
thumbnail
54
doc

Valemid ja mõisted

p p x + px + q = 0 2 x1, 2 = - ± - q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi x 2 + px + q = 0 lahendid). ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 ) , milles x1 , x 2 on ruutkolmliikme nullkohad (vastava ruutvõrrandi ax 2 + bx + c = 0 lahendid). 2

Matemaatika
1097 allalaadimist
thumbnail
8
doc

Matemaatika praktikumi töö

Näide: (x+1)/(x+2)=0 Murdvõrrandit EI TOHI muutujaga läbi korrutada! Lahendamiseks viiakse kõik liikmed vasakule poole ning ühisele murrujoonele. Näide: Seejärel võrdustatakse lugeja nulliga, samal ajal väites, et nimetaja ei tohi olla 0. Antud juhul: x2-x-6=0 ja x-3 0 -> x 3 Ruutvõrrandi lahendid on x1 = 3 ja x2 = -2, kuid 3 on võõrlahend, seega murdvõrrandi lahendiks on -2. Juurvõrrand Juurvõrrandiks nimetatakse võrrandit, kus muutuja on juure all. Ei ole juurvõrrand, sest muutuja x ei ole juure all. Juurvõrrandit lahendadakse, viies juurega liikmed ühele poole ja juureta liikmed teisele poole ning seejärel tõstetakse mõlemad pooled ruutu. Näide:

Matemaatika
23 allalaadimist
thumbnail
1
doc

logaritm-ja eksponentfunktsioonid ja -võrratused

loga1 = 0 logaa = 1 log a = b 10b = a loga bc = loga b + loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga = loga b ­ loga c, kui b > 0 ja c > 0 loga bn = nloga b, kui b > 0 log a c log b c = log a b · Eksponentfunktsioon ­ Kui y = ax, a > 1, siis on kasvav funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ja graafik läbib punkti (0; 1). Kui y = ax, 0 < a < 1, siis on kahanev funktsioon. Tema graafik ei lõika x-telge ning graafik läbib punkti (0; 1). · Logaritmfunktsioon ­ Kui y = loga x, a > 1, siis on kasvav funktsioon.

Matemaatika
891 allalaadimist
thumbnail
17
pdf

Lineaarvõrratused, ruutvõrratused ja murdvõrratused

ax2 + bx + c > 0 või ax2 + bx + c < 0 või ax2 + bx + c 0 või ax2 + bx + c 0, kus a 0, b ja c on antud arvud ja tähega x on tähistatud tundmatut. Ruutvõrratuste lahendamine Ruutvõrratuste lahendihulgad leitakse funktsiooni y = ax2 + bx + c graafiku abil. Arutelu lihtsustamiseks on kasulik võrratust teisendada nii (vajadusel teguriga ­1 korrutades), et pealiikme kordaja a > 0. Sel juhul avaneb funktsiooni graafikuks olev parabool alati ülespoole, mistõttu on vaja leida vaid ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendid ning läbi nende skitseerida graafik. Kui neid lahendeid pole, siis - võrratuse ax2 + bx + c > 0 (või 0) lahendihulgaks on hulk R - võrratuse ax2 + bx + c < 0 (või 0 ) lahendihulgaks on tühi hulk Näide 1 Näide Lahendame võrratuse 6 + x ­ x2 < 0. Lahendus Korrutame selle võrratuse mõlemaid pooli arvuga ­1, saame võrratuse x2 x 6 0

Matemaatika
85 allalaadimist
thumbnail
32
pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §1. MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID 1. Ruum R m , hulgad selles ruumis Def. Kõigi m reaalarvust koosnevate järjestatud süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) hulka nimetatakse m-mõõtmeliseks ruumiks. Def. Kui m-mõõtmelises ruumis defineeritakse süsteemide P = ( x1 ,..., x m ) ja Q = ( y1 ,..., y m ) m vaheline kaugus d (P, Q ) valemiga d (P, Q ) = (x - y i ) , siis nimetatakse seda ruumi 2 i i =1 m-mõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks ja tähistatakse R m . Süsteemi P = ( x1 ,..., x m ) nimetatakse ruumi R m punktiks ning reaalarve xi (1 i m ) punkti P koordinaatideks.

Matemaatiline analüüs II
187 allalaadimist
thumbnail
35
pdf

Mitmemuutuja funktsioonid

lim f ( x, y ) = a x x0 eksisteerib, siis punkt ( x 0 , y 0 ) on kõrvaldatav katkevuspunkt. y y0 lim f ( x, y ) 2) Kui piirväärtus x x0 ei eksisteeri või on lõpmatus, siis on see y y0 katkevuspunkt. Järeldus. Piirväärtuse uurimine sirgete kimbu abil on küll tarvilik, kuid ei garanteeri esialgse piirväärtuse olemasolu. Sõnastame kaks teoreemi, mis on analoogsed lõigul pideva funktsiooni kohta käivatega (Weierstrassi teoreemid). Tähistame funktsiooni z = f ( x, y ) suurima ja vähima väärtuse piirkonnas D. M = sup f ( x, y ) ( x , y )D m = inf f ( x, y ) ( x , y )D Teoreem 2.1. Olgu funktsioon z = f ( x, y ) pidev kinnises tõkestatud piirkonnas D. Siis leidub vähemalt üks selline punkt P ( x1 , y1 ) D , et f ( x1 , y1 ) = M ja samuti leidub vähemalt üks punkt

Matemaatiline analüüs 2
240 allalaadimist
thumbnail
246
pdf

Funktsiooni graafik I õpik

© Allar Veelmaa 2014 5 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium LINEAAR- JA RUUTVÕRRANDI LAHENDAMINE 1) Lineaarvõrrandi ax + b = 0 lahendamine b Kui a ≠ 0, siis lahend on x   a Kui a = 0, siis on kaks võimalust: a) kui b = 0, siis võrrandi 0 · x = 0 lahendiks sobib iga arv. b) kui b ≠ 0, siis võrrandil 0 · x = b lahendeid ei ole. 2) Ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendamine: Kui a = 1, siis sellist võrrandit nimetatakse taandatud ruutvõrrandiks ja esitatakse kujul x2 + px + q = 0 ning see lahendatakse valemiga p p2 x1;2    q 2 4

Matemaatika
79 allalaadimist
thumbnail
11
doc

Matmaatiline analüüs I 1. teooriatöö konspekt

Kasvamis- ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1< x2. Kui f(x1) < f(x2), siis on funktsioon f kasvav hulgas D, graafik tõuseb. Kui f(x1) >f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb. Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv, siis X=R Y=(0; ). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. 4. Üksühene funktsioon Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub ainult x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral

Matemaatiline analüüs
246 allalaadimist
thumbnail
39
pdf

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

4. Funktsiooni y = f ( x ) + b graafik on y = f ( x ) graafiku paralleellükke y-telje sihis kaugusele b. 5. Funktsiooni y = Af ( x ) graafik on y = f ( x ) graafik, mille mõõtkava on y-telje sihis muudetud A korda. 3 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Põhilised elementaarfunktsioonid ja nende graafikud 1. Eksponentfunktsioon ja logaritmfunktsioon Liigitus Üldkuju Määramispiirkond Muutumispiirkond Eksponentfunktsioon y = a x = exp a x a > 0, a 1 X = (- , ) Y = (0, ) Logaritmfunktsioon y = log a x a > 0, a 1 X = (0, ) Y = (- , ) y = ax a >1 y = ax a <1 y = log a x a >1 y = log a x a <1 2

Matemaatiline analüüs I
73 allalaadimist
thumbnail
23
doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] ,

Matemaatiline analüüs I
104 allalaadimist
thumbnail
8
docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

f(x2), siis on f kahanev hulgas D. o Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. · Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. · Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a =1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. · Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x.

Matemaatika analüüs I
485 allalaadimist
thumbnail
25
doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I TEOORIA KONTROLLTÖÖ Küsimused vastustega

kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponentfunktsioon- Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞). Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,

Matemaatiline analüüs 1
43 allalaadimist
thumbnail
2
docx

Matemaatiline analüüs

vastavat funktsiooni väärtuste hulka. Funktsiooni F(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni f-1, mis seab igale f muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone:  Konstantne funktsioon : y=0  Astmefunktsioon y=x astmes a  Eksponentfunktsioon y=a astmes x  Logaritmfunktsioon y= loga astmes x  Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx  Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks,

Matemaatika analüüs i
13 allalaadimist
thumbnail
100
pdf

MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE

Seega 7 kg praetud kohvi on 87,5%. Leiame toore kohvi kaalu ehk 100% , s.o.: 7 ⋅ 100 = 8. 87,5 Vastus. Toorest kohvi tuleb võtta 8 kg. 9 Näide 4. Töötaja palk tõusis 4000 kroonilt 4500 kroonile. Mitme protsendi võrra tõusis palk? Lahendus. Palga tõus (palga muut) on 4500-4000=500 krooni. Leiame palga muudu ja esialgse palga suhte protsentides: 500 ⋅ 100 % = 12,5%. 4000 Vastus. Palk tõusis 12,5% võrra. Näide 5. Kui palju vaske on vaja lisada 810 grammile kullale prooviga 900, et saada kulda prooviga 750? Lahendus. Tavaliselt on sulami proov antud promillides: 1 1‰ = = 0,001.

Matemaatika
75 allalaadimist
thumbnail
816
pdf

Matemaatika - Õhtuõpik

natukene teistsuguse lähenemisega toetada. Teistsuguse lähenemise realiseeri- miseks liitus selle plaaniga ka kunstnik Elis, kes tõi juurde oma ideed matemaatiliste mõttekäikude illustreerimiseks ja tegi võimalikuks teksti ja pildi ilusa sidumise. Raamatu kirjutamine oli põnevam ja keerulisem, kui me algul arvasime, ning käsi- kirja valmimiseni kulus lausa kolm aastat. Natukene teistsuguse lähenemise kin- nitamiseks sai ka kirjastamine lahendatud väga moodsalt: esialgse finantsi saime ühisrahastusplatvormi Hooandja kaudu enne raamatu ilmumist, mis võimaldas meil raamatu teha internetis kõigile tasuta kättesaadavaks. See tähendab, et võid julgelt meie tekste muuta ja kasutada, kuid raha teenimine pole siiski lubatud. Nii sai meie eesmärk – teha matemaatika paremaks mõistmiseks üks teistsugune raamat – täidetud isegi mitmekülgsemalt, kui me esialgu plaanisime. Mida „Õhtuõpikust” leida võib ja kuidas seda lugeda?

Matemaatika
198 allalaadimist
thumbnail
3
doc

Matemaatilised mõisted ja definitsioonid

Matemaatika põhimõisted ja - definitsioonid 1. Funktsioon- kui muutuva suuruse x igale väärtusele, mis kuulub tema muutumispiirkonda, vastab teise suuruse y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on x funktsioon. 2. Elementaarne põhifunktsioon- elementaarseteks põhifunktsioonideks nim. järgmisi analüütiliselt antud funktsioone: konstantne funktsioon y = c; astmefunktsioon y = xa ; eksponentfunktsioon y = ax , kus a on ühest erinev pos. arv; logaritmfunktsioon ; trigonomeetrilised funktsioonid; arkusfunktsioonid; 3. Elementaarfunktsioon- funktsioon, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. 4. Tõkestatud funktsioon- funktsiooni f(x) nim. tõkestatuks piirkonnas A, kui leidub selline reaalarv k, nii et | f(x) | <= k iga x A korral. 5. Perioodiline funktsioon- funktsiooni f(x) nim

Matemaatiline analüüs
253 allalaadimist
thumbnail
8
doc

12. klass matemaatika kordamine

Sirge t läbib punkti C(-1; 0; 1) ning sihivektoriks on a = (1; 0; 4). Koosta sirgete s ja t võrrandid ning tee kindlaks sirgete vastastikune asedn. 18. Lihtsusta ( sin + cos - 1)( sin + cos + 1) 4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius. Avalda ringi segmendi pindala, kui segmendi alus on r 3 ja kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2 +x -8 24. Komplektis on 4 standardset ja 2 mittestandardset lampi. Võetakse juhuslikult 2 lampi.

Matemaatika
327 allalaadimist
thumbnail
26
doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks

argumendi väärtuste x hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri omab mõtet (nn loomulik määramispiirkond). Näiteks on funktsiooni y = x -4 määramispiirkond X = [4,). Elementaarfunktsioonid. Matemaatilises analüüsis enim uuritud ja kõige sagedamini esinevad funktsioonid on elementaarfunktsioonid. Põhilisteks elementaarfunktsioonideks nimetatakse järgmisi funktsioone: 1) konstantne funktsioon y = c; 2) astmefunktsioon y = x ; 3) eksponentfunktsioon y = ax (a > 0); 4) logaritmfunktsioon y = log a x (a > 0, a 1 ); 5) trigonomeetrilised funktsioonid y =sin x, y =cos x, y = tan x, y = cot x; 6) arkusfunktsioonid y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. Elementaarfunktsioonideks nimetatakse funktsioone, mis on saadavad põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise operatsioonide teel. §2 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS JA PIDEVUS 1

Matemaatiline analüüs i
687 allalaadimist
thumbnail
4
doc

Matemaatika mõisted

võrdsete külgedega ristkülik. 2. arvu teine aste. 76. Ruutfunktsioon ­ funktsioon y=ax2+bx+c. 77. Ruutkolmliige ­ avaldis kujul ax2+bx+c, kus a, b ja c on antud arvud ja x on muutuja. 78. Ruutvõrrand ­ võrrand ax2+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud ja x tundmatu. 79. Rööpkülik ­ paralleelsete vastaskülgedega nelinurk. 80. Samasus ­ võrdus, mis kehtib temas esinevate muutujate mistahes väärtuste korral. 81. Samaväärsed võrrandid ­ võrrandid, millel on kas samad lahendid või millel lahendid puuduvad. 82. Sarnased hulknurgad ­ hulknurgad, mille vastavad nurgad on võrdsed ja vastavad küljed on võrdelised. 83. Sarnasustegur ­ sarnaste hulknurkade vastavate külgede pikkuste jagatis. Tähis k. 84. Sfäär ­ kera pind. 85. Silinder ­ keha, mille moodustab ümber oma ühe külje pöörlev riskülik. 86. Sirgnurk ­ nurk, mille haarad moodustavad sirgjoone. 180o 87. Siseringjoon ­ ringjoon, mis puutub hulknurga kõiki külgi. 88. Suhe ­ jagatis 89

Matemaatika
146 allalaadimist
thumbnail
13
doc

Matemaatiline analüüs I 1. kt teooria

suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus. Def. Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui selles piirkonnas suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y

Matemaatika analüüs I
297 allalaadimist
thumbnail
4
docx

Kollokvium 1

nimetatakse funktsiooni x = f-1 (y), mis igale arvule y Y = y (X) seab vastavusse arvu x X. o Elementaarfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Konstantne funktsioon y = c. Astmefunktsioon y = xa Eksponentfunktsioon y = ax Logaritmfunktsioon y = logax Trigonomeetrilised funktsioonid Arkusfunktsioonid o Olgu funktsiooni y = f (u) määramispiirkond U ja funktsiooni u = f (x) määramispiirkond X. Tähistame U' = {x R | u = g (x), x x}. Kui U' U, siis saab iga x X korral leida y väärtuse: x (u =g (x)) u y ( y = f (x). See vastavus määrab piirkonnas X funktsiooni y = f (g

Matemaatiline analüüs
206 allalaadimist
thumbnail
23
docx

MATEMAATILINE ANALÜÜS TÖÖ VASTUSED

· Paaritufunkstioon ­ kui iga korral kehtib võrdus · Perioodiliseks nimetame funktsiooni, kui leidub konstant nii, et iga korral kehtib võrdus Väikseim selline konstant on funktsiooni periood · Kasvav funktsioon ­ kui iga x ja y korral hulgast A, kus , kehtib seos · Kahanev funktsioon ­ kui iga x ja y korral hulgast a, kus kehtib seos · Astmefunktsioon ­ kui funktsioon on kujul ja a on nullist erinev konstantne astendaja. · Eksponentfunktsioon ­ kui funktsioon on esitatud kujul kus ega Eksponentfunktsiooni korral ja . Funktsioon , kui on kasvav kogus määramispiirkonnas ja kahanev, kui · Trigonomeetrilised funktsioonid: 1. 2. 3. 4. Graafikud: Funktsioonid ja on perioodilised perioodiga 2 ning funktsioonid ja on perioodiga . Kõik trigonomeetrilised funktsioonid peale on paaritud. 4.

Matemaatika analüüs I
104 allalaadimist
thumbnail
16
doc

Matemaatiline analüüs

märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon: Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud: Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y =cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4

Matemaatiline analüüs
231 allalaadimist
thumbnail
22
docx

Matemaatiline analüüs (vähendatud programm)

erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Kui α on positiivne täisarv, siis on funktsioon määratud lõpmatus vahemikus −∞ < x < ∞. (graafik) Kui α on negatiivne täisarv, siis on funktsioon määratud x kõigi väärtuste korral, välja arvatud x = 0. (graafik)  Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a x , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ≠ 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y= x 1 =1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0, ∞). Kui a > 1 (graafik) Kui 0 < a < 1 (graafik)

Matemaatiline analüüs i
17 allalaadimist
thumbnail
6
doc

11. klassi materjal matemaatikas

Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) läheneb nullile. n Piirväärtust

Matemaatika
501 allalaadimist
thumbnail
8
docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

f(x2), siis on f kahanev hulgas D. o Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. · Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. · Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a =1 Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. · Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x.

Matemaatiline analüüs 2
96 allalaadimist
thumbnail
10
docx

Matemaatiline analüüs I 1. teooria KT

perioodiga . Funktsioonid y = sinx, y = tanx ja y = cotx on paaritud ning y = cosx paaris. 4. Üksühese funktsiooni mõiste. Kujutis, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. · Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. · Funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes: kui g of funktsiooni f pöördfunktsiooni, siis f on g pöördfunktsioon. · Funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud on sümmeetrilised sirge y = x suhtes Logaritmfunktsioon. Eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon on logaritmfunktsioon x = log a y, kus a on logaritmi alus. a > 0 ja ei võrdu 1. X = (0,) ja Y = R.

Matemaatiline analüüs 1
110 allalaadimist
thumbnail
15
docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Pöördfunktsiooni funktsiooni argument ja muutuja vahetavad oma kohad. Pöördfunktsioon saadakse, kui lahendatakse võrrand y=f(x) argumendi x suhtes. Pöördfunktsiooni argumendiks on y ja muutujaks x. Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja muutumispiirkond.Funktsioon y=f(x) ja tema pöördfunktsioon x=g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Funktsiooni y=f(x) ja x=g(y) määravad ühed ja samad arvupaarid (x,y), seega ühed ja samad punktid P(x,y) tasandil. Erinevus seisneb selles, et f seab x-le vastavusse y-i, kuid g seab y-le vastavusse x-i. Y=f(x) ja g=g(y) graafikud on sümmeetrilised y=x suhtes. c

Matemaatiline analüüs
51 allalaadimist


Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun