o C = {z | z=x+iy; x,y∈R, i2=1 Reaalarvude intervallid 11 o lõik [a, b] = {x | x∈R, a ≤ x ≤ b}, o vahemik (a, b) = {x | x∈R, a < x < b} o poollõik (a, b] = {x | x∈R, a < x ≤ b} o poollõik [a, b) = {x | x∈R, a ≤ x < b} 14. Alamhulk. Ülemhulk. Pärisalamhulk. [3, 4, 5] Alamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A ⊆ B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A ⊆ B ⇔ ∀x[ x∈A ⇒ x∈B ] Ülemhulk o DEF: Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B ⊇ A. Pärisalamhulk o DEF: Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A ⊂ B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A ≠ B. 15. Hulkade ühend, ühisosa, vahe. Universaalhulk. Hulga täiend. Venni diagrammid. Tehete algebralised omadused, nende tõestamine ja kontroll
Aksiomaatilist hulgateooriat kasutatakse seal, kus on äärmiselt oluline vältida erinevaid hulgateoreetilisi paradokse või uurida teatavate matemaatiliste probleemide põhimõttelist lahenduvust/ mittelahenduvust. *Võrdsed hulgad- Kahte hulka loeme võrdseks, kui nad koosnevad täpselt samadest elementidest. Elementide järjekord hulgas ei ole oluline. *Alamhulk/ülemhulk- Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks (e. osahulgaks), kui kõik hulga A elemendid sisalduvad ka hulga B koossesisus. Sellisel juhul on hulk B ka muuseas hulga A ülemhulk. Tähistaktakse: ning . Tehted: Hulkade ühend- Kahe hulga ühendiks on ,,kõik hulga A elemendid + kõik hulga B elemendid". (Tähistatakse ) Hulkade ühisosa- Kahe hulga ühisosaks on ,,kõik elemendid, mis sisalduvad samaaegselt nii hulgas A kui ka hulgas B". (Tähistatakse ) Hulkade vahe- Kahe hulga vahe A/B on defineeritud kui ,,hulk, mis koosneb kõigist
d. Reaalarvude hulk - e. Kompleksarvude hulk - = {x + iy | x, y , i2 = -1} f. Reaalarvude intervallid: f.i. Lõik [a, b] = {x | x R & a x b} f.ii. Vahemik (a, b) = {x | x R & a < x < b} f.iii. Poollõik (a, b] = {x | x R & a < x b} f.iv. Poollõik [a, b) = {x | x R & a x < b} 14) a. Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ja kirjutatakse A B, kui kõik hulga A elemendid kuuluvad ka hulka B, st A B x [x A x B] b. Kui hulk A on hulga B alamhulk, siis nimetatakse hulka B ka hulga A ülemhulgaks ja kirjutatakse B A. c. Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks (pärisosahulgaks) ja kirjutatakse A B, kui hulk A on hulga B alamhulk ja A B. AB A B & A B. 15) a. Hulkade A ja B ühendiks e. summaks nimetatakse hulka A B, mille
4. Millal on hulgad teineteisega võrsed? Hulgad on võrdsed, kui nad koosnevad samadest elementidest. 5. Kui palju (mitu tk.) võib ühte hulgaelementi hulgas sisalduda? Iga elementi on hulgas üks kord. 6. Milliste sümbolitega esitatakse elemendi kuulumist või mittekuulumist hulka? Elemendi e kuulumine hulka A tähistatakse Elemendi e mittekuulumist hulka A tähistatakse 7. Millal on mingi hulk teise hulga osahulgaks? Hulk A on hulga B osahulk, kui hulga A elemendid on ka hulga B elemendid. 8. Millal on kaks hulka teineteise osahulkadeks? Kaks hulka on teineteise osahulkadeks, kui nad on võrsed. 9. Mis on Venni diagramm? Venni diagramme kasutatakse hulkade graafiliseks esitamiseks. Diagrammil esitatakse hulki ringjoontena, mille see on hulgaelemendid. 10. Milline on kahe hulga Venni diagramm? Kolme hulga Venni diagramm? I I A B A B
indiviidide piirkonnaks o Vastavalt predikaadi definitsioonile saame igale predikaadile seada vastavusse tema tõesuspiirkonna = { (1, ... , ) |P(1, ... , ) = } Olgu P(1, ... , ) hulgal defineeritud -kohaline predikaat. Siis iga korral tähistavad P(1, ... , ) ja P(1, ... , ) järgmisi ( - 1)-kohalisi predikaate: o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised elemendid, et iga xiM korral P(1, ... , )=t o P(1, ... , ) = {t, kui x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn on hulga M sellised elemendid, et mingi xiM korral P(1, ... , )=t, vastasel juhul P(1, ... , )=v Lõpliku indiviidide piirkonna puhul saab kvantorite rakendamise taandada lausearvutuse tehetele: o Kui = {1, ... , }, siis P(1, ... , )= P(1, ... , -1, 1, +1, ... , ) & ... & P(1, ..., -1, , +1, ... , n)
Suulise arvestuse punktid 1. Hulgad 1) Hulk on määratud, kui on olemas eeskiri, mille abil on võimalik otsustada, kas vaadeldav element kuulub määratud hulka või mitte. 2) Tühihulk hulk, milles ei leidu ühtegi elementi. Ø 3) Alamhulk hulk, mille kõik elemendid kuuluvad teise(suuremasse) hulka. A B 4) Ühend hulk, mille elementideks on mõlema hulka kõik elemendid. A B 5) Ühisosa hulk, mille elementideks on kahe(või enama) hulga kõik ühised elemendid. AB 6) Loetelu hulga elementide loetelu. 2. Juurde ja mahaarvutamise valem. 1) Elimineerimismeetod. 2) Nende esemete arvu leidmiseks, millel pole ühtegi nimetatud omadust, tuleb kogu arvust lahutada nende esemete arv, millel on paaritu arv omadus ja seejärel liita nende esemete arv, millel on paarisarv omadusi. 3. Naturaalarvud. 1) Omadused.
Vastavused ja relatsioonid 18 Järjestussuhted 27 LOOGIKAFUNKTSIOONID 35 KARNAUGH’ KAARDID 45 McCLUSKEY’ MINIMEERIMISMEETOD 46 JÄÄKFUNKTSIOONID 48 LOOGIKAFUNKTSIOONIDE KLASSID 50 DIGITAALSKEEMIDE ELEMENDID 52 LOOGIKAFUNKTSIOONIDE SÜSTEEMID 56 GRAAFID 58 Palju õnne! 67 Soojendus 1. Millise matemaatikavaldkonnaga Diskreetne Matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele reaalarvudega ega pidevate funktsioonidega. 2. Milliste arvudega Diskreetne Matemaatika ei tegele? Diskreetne matemaatika ei tegele
Astmehulgaks n-elemendilisele hulgale on 2^n. Lõplik hulk on hulk, kus on teatud arv hulgalemente. Lõpmatu hulk on hulk, kus on lõptmatu arv hulgaelemente. Loenduv hulk on hulk, mille igale elemendile saav vastavusse seada nat. arv. Hulgaaritmeetilised tehted on ühend, ühisosa, täiend, vahe ja sümmeetriline vahe. Korrutamine on nagu ühisosa. Liitimine nagu ühend. Ühendisse kuuluvad hulkade need elemendid, mis ei kuulu mõlemasse hulka. Ühisossa kuuluvad vaid need elemendid, mis on mõlemal hulgal olemas. Mittelõikuvad hulgad on need, millel pole ühisosa. Võimsus on hulga elementide arv. Grassmanni valemid on valemid, mis aitavad leida hulkade ühendi võimsust ning ühisosa võimsust. Asendusseosed on seosed, mille abil saab vahest ja sümmeetrilisest vahest ühendi või ühisosa.
Kõik kommentaarid