Diferentsiaalvõrrandite eksami konspekt (0)

Lõik failist

Sarnased õppematerjalid

14

odt

DV II KT vastused

.., y0(n-1)) є D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend. Üldlahend – võrrandi (1) lahendite pere y = y(x, C 1, C2, ..., Cn), mis sõltuvad n suvalisest konstandist C1, ..., Cn ja mille puhul iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) = є D jaoks leiduvad konstantide väärtused C10, C20, ..., Cn0, nii et lahend y = y(x,C10,...,Cn0) rahuldab algtingimusi (2). Erilahend – võrrandi (1) lahend, mis on saadud konstantide fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine – üldkuju F(x, y, y', ..., y(n)) võrrandit kujul, siis arvestame (2) algtingimusi: yn = f(x) n (n-1) et y = dy /dx, siis dy(n-1)/dx = f(x)|·dx dy(n-1) = f(x)dx|ʃ y(n-1) = ʃfxdx + C1. Et y(n-1) = dy(n-2)/dx, siis

Dif.võrrandid

8

docx

Dif 2. kollokvium

.+pn(x) (y1+y2)=p0(x)(y1 +y2 )+p1(x)(y1 +y2 )+..+pn(x)(y1+y2)=p0(x)y1(n)+p1(x)y1(n-1) +..+pn(x)y1+p0(x)y2(n)+p1(x)y2(n- (n) (n) (n-1) (n-1) 1) +..+pn(x)y2=Ly1+Ly2. Lahendite vahelised seosed-seame igale vahemikus (a;b) n-korda pidevalt diferentseeruvad fn y=y(x) vastavusse fn Ly järgmisse eeskirja. Siis saame lineaarse DV p 0(x)y(n)+p1(x)y(n-1)+... +pny=f(x) lühidalt kirjutada Ly=f (1) ning vastav homogeenne võrrand on siis kujul Ly=0 (1 h) Omadus1:Kui y1,y2,...,yn on võrrandi(1h) lahendid,siis on ka y=C 1y1+C2y2+...+Cnyn võrrandi(1h) lahend.Tõestuseks on vaja näidata,et kui Ly1≡0,...,Lyn≡0,siis L(C1y1+...+ Cnyn)≡0. L(C1y1+C2y2+...+Cnyn)=L(C1y1)+L(C2y2)+...+L(Cnyn)= C1Ly1+C2Ly2+...+ CnLyn=C10+...+Cn0=0. Omadus2:Kui y1,y2,...,yn on (1h) lahendid, y* on aga (1) lahend, siis y=C1y1+C2y2+...+Cnyn+y* on (1) lahend.Tõestus on vaja näidata,et Ly≡f. Ly= L(C 1y1+C2y2+...

Dif.võrrandid

1

docx

Diferntsiaalvõrrandidte teooria nr. 2

D. Siis iga punkti (x0, y0, ..., y0(n-1)) D korral on Cauchy ülesandel {(1);(2)} parajasti üks lahend. Üldlahend ­ võrrandi (2) üldlahendiks piirkonnas D nim suvalisest konstandist C sõltuvat lahendit y=y(x;C), mis rahul tingimust : iga pnkti (xo;yo) D korral leidub konstdi C selline väärtus Co; et lahend y=y(x;C) rahuld algtingimust y( x0)= Erilahend ­ võrrandi (2) erilahend on lahend, mis on saadakse konstandi C fikseerimisega. 2. Lihtsamate n-järku diferentsiaalvõrrandite integreerimine. V: Lihtsamate n-järku DV lahendamine ­ üldkuju F(x, y, y', ..., y(n)) võrrandit kujul, siis arvestame (2) algtingimusi: yn = f(x) , et yn = dy(n-1)/dx, siis *dy(n-1)/dx = f(x)|·dx *dy(n-1) = f(x)dx| *y(n-1) = fxdx + C1. *Et y(n-1) = dy(n-2)/dx, siis *dy(n-2) = (f(x)dx + C1)dx *y(n-2) = (f(x)dx + C1)dx + C2 jne. *Saamegi y = y(x1, C1, C2, ..., Cn) arvestame tingimuse (2)

Dif.võrrandid

20

docx

Kõrgem matemaatika II eksamimaterjal

Keha mass Kui keha tihedus on antud pideva funktsiooniga (x,y,z), kus (x,y,z) E, siis keha E mass võrdub mE= (x , y , z )dxdydz E Diferentsiaalvõrrand Diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles on otsitavaks ühe või mitme muutuja funktsioon ning võrrand seob otsitavat funktsiooni ja tema tuletisi sõltumatute muutujatega Difirentsiaalvõrrandite Vastavalt sõltumatute muutujate arvule liigitatakse diferentsiaalvõrrandeid liigitus harilikeks ja osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks Diferentsiaalvõrrandi Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse võrrandis esinevate otsitava järk funktsiooni tuletiste kõrgeimat järku

Kõrgem matemaatika ii

20

pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium nr.3

 M, N, , Є C(D)    Siis leidub selline funktsioon F(x,y), mille täisdiferentsiaal dF(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy piirkonnas D. Lause: Rahuldagu funktsioonid M ja N ühelisidusas piirkonnas D järgmisi tingimusi:  M, N, , Є C(D)   Siis nimetame diferentsiaalvõrrandit M(x,y)dx + N(x,y)dy eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand , kus II liiki joonintegraal on võetud üle mingeid punkte ja ühendava joone. Kui C=0, siis saame algtingimusega Cauchy ülesande lahendi. 9.Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand Eraldatud muutujatega võrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, mis on esitatav kujul M(x)dx + N(y)dy =0, kus M=M(x) ja N=N(y) on teadaolevad ühemuutuja funktisoonid. Vaatame võrrandit M(x)dx + N(y)dy =0, Seega My=Nx=0

Matemaatiline analüüs 2

5

doc

Matemaatilise analüüsi 2.kollokviumi

Osatuletistega diferentsiaalvõrrand ­ otsitav on mitme muutuja funktsioon zxx + zyy = 0. piirkonnaks D , siis f(x,y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv. Teiseks oluliseks tunnuseks diferentsiaalvõrrandite liigitamisel on võrrandi järk. Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse temas Polaarkoordinaadid on kahemõõtmeline koordinaatide süsteem, kus iga tasandi punkt on määratud kaugusega fikseeritud punktist sisalduvate tuletiste kõrgeimat järku. Esimest järku: ydy + xdx = 0; x2yzx + xy2zy = exy. Teist järku: y'' + y = 2ex; zxx + zyy = 0.

Matemaatiline analüüs 2

8

pdf

Matemaatiline analüüs II 2. kollokviumi spikker

võimaldab meil täiendada süsteemi kolmanda võrrandiga  (x, y) = 0 viies sellega tundmatute ja võrrandite eksaktseks ehk täisdiferentsiaaliga diferentsiaalvõrrandiks, mille üldlahendi määrab võrrand  ′ x(x, y) = 0 , f′y (x, y) + λ  ′ y(x, y) = 0 ,

Matemaatiline analüüs 2

13

pdf

Majandusmatemaatika IIE eksami kordamisküsimused

suvalisele konstandile C anda konkreetne väärtus C=C0. Seost (x,y,C0)=0 nim sel juhul võrrandi eriintegraaliks. Üldlahendi geomeetriliseks tõlgenduseks on koordinaattasandil asetsev joonteparv, mis sõltub ühest suvalisest konstandist C. Neid jooni nim antud dif.võrrandi integraaljoonteks. Cauchy'i ülesanne: y'=f(x,y). Leida selline lahend, mis algtingimustel y(x0)=y0 ??? 33. Eralduvate muutujatega ja homogeenne võrrand M(y)dy=N(x)dx ­ võrrandi teisendavust sellisele kujule nim muutujate eraldamiseks. ! Homogeenset võrrandit iseloomustab võrrand: y'=f ! . Asendusega u=y/x saab homogeense võrrandi teisendada eralduvate muutujatega võrrandiks u ja x-i suhtes. !" ! ! N: !" - ! = ! ! ! ! = ! + ! = + ! , = ! = , = + ' !" + = + !. !" !! !" !

Majandusmatemaatika

Meedia

Kommentaarid (0)