Tõestused Omadus 1.4. Maatriksite liitmine on kommutatiivne, s.t. mistahes X, Y Mat(m, n) korral kehtib X + Y = Y + X. Tõestus: Iga X = (xij) ja Y = (yij) korral hulgast Mat(m, n), tänu reaalar- vude liitmise kommutatiivsusele (1.11), saame X + Y = (xij + yij) = (yij + xij) = Y + X X + Y = Y + X Omadus 1.10. (X + Y ) = X + Y Tõestus (X + Y ) = ((xij) + (yij)) = ( (xij + yij)) = ( xij + yij) = = ( xij) + ( yij) = (xij) + (yij) = X + Y (X + Y ) = X + Y; Omadus 1.15. Mistahes maatriksi X Mat(m, n) ning vastavate ühikmaatriksite Em Mat(m,m) ja En Mat(n, n) korral XEn = X, EmX = X Tõestus Maatriksite X = (xij ), kus i Nm, j Nn, ja n-järku ühikmaatriksi E1 = (ij) korrutise XE1 = (yij) üldelement avaldub = = , , , =1 mistõttu XE1 = X. Juhul kui E2 on m-järku ühikmaatriks, siis 2
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c
Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi. Mõnikord on kasulik sündmuste sigma-algebrast mõelda ka kui informatsioonist selle kohta, millistesse Ω alamhulkadesse kuulumist suudab vaateleja temale antava (sageli osalise) informatsiooni põhjal kindlaks teha. Mida rohkem informatsiooni vaatelja katsetulemuse kohta saab, seda rohkem hulki sisaldab ka vastav sigma-algebra. Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui:
Sisukord 1 Mudelid majanduses ............................................................................................................. 4 1.1 Mudeli mõiste ......................................................................................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus .......................................................................................................... 5 2.2 Astendamine ja polünoomid ................................................................................................... 6 2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid ...............................................................
arvutusmasina jaoks programmi. Oleks täisautomaatne arvutusmasin valmis ehitatud, siis tema programm oleks oleks olnud võimeline arvutama Bernoulli numbrite järjestust/jada. Tänu sellele tööle on Lovelace'le kingitud esimese arvutiprogrammeerija tiitel. 1979ndal aastal anti kaasaegsele programmkeelele tema auks nimi Ada. Morse 1837: elektritelegraaf, Wheatstone 1857: perfolint George Boole, de Morgan Loogika (lausearvutuse) alused 1847-1854 Matemaatilise algebra ideede kasutamine loogika jaoks: Loogika algebra:1*A = A, 0*A = 0, A+0 = A, A+1 = 1,A+B = B+A, A*B = B*A, A*A = A Enimkasutatud tehted on: & (ja e. konjunktsioon) V (või e. disjunktsioon) - (ei e. eitus) => (järeldus e. implikatsioon) == (samasus e. ekvivalents) A& B AV B -A A => B -------- -------- ---- -------- TTT TTT VT TTT
Sellega lõppes mitmete teemade (tuletis, integraal, kombinatoorika) õpetamine. Seevastu sisaldasid üleliidulised õpikud V klassis ülemäära keerulisi (enam kui 10 tehtega) aritmeetikaülesandeid. Geomeetria süstemaatiline kursus algas juba VI klassis ja oli õpilaste vanuse kohta raske. Matemaatika ühtne kursus oli nüüd jaotatud erinevateks osadeks, sisuliselt tegelikult erinevateks õppeaineteks: aritmeetika, geomeetria, algebra ja trigonomeetria. Mõnes klassis oli seetõttu kasutusel 6 erinevat raamatut, sest eraldi olid veel igas aines teooria raamat ja ülesannetekogu. 1957. a loodi Haridusministeeriumi juurde matemaatika aine- komisjon, keda asus juhtima Elmar Etverk. See komisjon asus ette valmistama oma ettepanekuid matemaatika õpetamise kohta. Need ettepanekud olid järgmised: 1. Süstemaatiline deduktsioonil põhinev geomeetriakursus ei tohiks alata
programmeerimine on põnev;2. ehk polegi meil speech).1990-lõpuaastatel kiirendas interneti muutumine Inseneriasjandus: teha kõike nii palju kallilt makstud programmiste vaja? 1938, Shannon'i magistritöö sidus: Boole algebra. lihtsamalt;Kommertsrakendused: kliendile Elektrilülitid ja -skeemid. Bitid ja info kodeerimise. mainstream-tehnoloogiaks eriti järsult aktsiahindade meelepäraseid asju. Arvutiteadus - Matemaatiline Info otsimise algoritmid. tõusu.Tekkis palju firmasid, kes ei andnud üldse arvutiteadus(Algebra eriharud, Arvutatavus,
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 arvuhulgad ....................
Kõik kommentaarid