Kordamisküsimused eksamiks Põhimõisted ja 1 seadus 1. Selgitage järgmisi keemilise termodünaamika põhimõisted :termodünaamiline süsteem, tasakaal,temperatuur. Kuidas on defineeritud absoluutne temperatuuriskaala? 2. Energia. Töö. Soojus. Seos nende vahel. Mis kujutab endast 3. Soojusmahtuvus. Cp ja Cv vaheline seos. Mis kujutab endast 4. Iseloomustage pööratavaid ja mittepööratavaid protsesse paisumise ja kokkusurumise näite abil. graafik 5. Töö, soojuse ja siseenergia arvutamine ideaalgaasile isotermilise, isokoorilise ja isobaarilise protsessi korral. Arvutus isotermiline 6. Tuletage avaldis S = f (q) ja tõestage, et entroopia on olekufunktsioon Entroopia tõestus. Valemid olemas tõesta lõppvalem. 7. Termokeemia. Reaktsiooni soojusefekti arvutamine. Hessi seadus. Soojusefekti sõltuvus temperatuurist. Kirchoffi seadus. 8. Entroopia pööratavates ja mittepööratavates protsessides. Spontaansete protsesside suund. 9. Absoluutse entroopia ar...
1. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte C(-3 ; 1) ja D(2 ; -5). X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand. X - X A Y - YA Sirge kanooniline võrrand: = . s1 s2 X - 5 Y - (-2) Asetame arvud võrrandisse: = . 3 -2 3y + 6 = 2x + 10 2x + 3y 4 = 0 3. Leia kahe punktiga C(-1 ; 3) ja D(7 ...
X klassi matemaatika V perioodi arvestuse näidisküsimused ja -ülesanded Teemad: Valemid: 1. Vektor tasandil d= ( x2 - x1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 - Kahe punkti vaheline kaugus - Mis on vektor? Vektorite liigitus? a1 a 2 - Kollineaarsed vektorid a b , kui = b1 b2 AB = ( x 2 - x1 ; y 2 - y1 ) a = a12 + a 22 - Vektori koordinaadid ja pikkus - Nullvektor ja vastandvektor - Vektorite liitmine - Vektorite lahutamine ...
Aine- ja energiavahetus 1. Autotroof - organism, kes valmistab ise orgaanilist ainet anorgaanilisest, kasutades välist energiat. Autotroofid sünteesivad ise elutegevuseks vajalikud orgaanilised ühendid väliskeskkonnast saadavatest anorgaanilistest ainetest. valgusenergia - fotosünteesijad (rohelised taimed, tsüanobakterid) keemiline energia kemosünteesijad ( mõned bakterid näiteks väävlibakterid, rauabakterid) Heterotroof - organism, kes ei suuda ise anorgaanilisest ainest orgaanilist valimistada, vajab valmis orgaanilist ainetHeterotroofid saavad oma elutegevuseks vajaliku energia toidus sisalduva orgaanilise aine oksüdatsioonil. Heterotroofid on loomad, seened, bakterid Metabolism - kõik organismis (rakus) toimuvad sünteesi- ja lagunemisreaktsioonid kokku. Organismides toimuvad sünteesi ja lagundamisprotsessid, mis tagavad aine- ja energiavahetuse ümbritseva keskkonnaga. Kõik organismid vajavad elutegevuseks energiat, mida saada...
Ülesanne 1. Tööriistad -> Solver x 2 Set Target Cell - Leia kõveral y = -4 punkt, mis on lähim punktile (1; 2). By Changing Cells 2 Otsitavad väärtused tingimused (üldvõrrand) tingimus x y Target cell -> min kaugus -2E-007 3,257857 1,306816 By Changing Cells -> x ja y lahtrid (tühjad) Subject to Constraints -> tingimuslahter = 0 ...
Ringjoone võrrand Ringjooneks nimetatakse tasandi niisugust punktihulka, mis asuvad ühest punktist (keskpunktist) võrdsel kaugusel(raadiuse kaugusel). Kui keskpunkti koordinaadid on (0;0), siis joonevõrrand on : x2+y2=r2 Kui keskpunkt on antud koordinaatidega (a;b) , siis joonevõrrand on: (x-a)2+(y-b)2=r2 Need kaks olid kanoonilised ehk tavapärased võrrandid. Ringjoone võrrandi üldkuju: x2+y2+ax+by+c=0 Näiteks: K(-2;3) r=3 (x+2)2+(y-3)2=(3)2 (x+2)2+(y-3)2=3 kanooniline võrrand X2+4x+4-y2-6y+9=3 X2+y2+4x-6y+10=0 üldvõrrand
1. Aine- ja energia hankimise viisid. Mõisted auto- ja heterotroof. Kemo- ja fotosünteesijad. Näiteid. Autotroofid on organismid, kes sünteesivad elutegevuseks vajalikud orgaanilised ühendid väliskeskkonnast saadavatest anorgaanilistest ainetest. Kasutavad valgusenergiat või redoksreaktsioonidel vabanevat keemilist energiat. (taimed, tsüanobakterid) (kemo- ja fotosünteesijad) Heterotroofid on organismid, kes saavad oma elutegevuseks vajaliku energia toidus sisalduva orgaanilise aine oksüdatsioonil. (vihmauss, loomad) Kemosünteesijad toodavad orgaanilist ainet anorgaanilistest ühenditest. Selleks kasutavad nad anorgaaniliste ainete keemilist energiat. Viivad läbi redoksreaktsioone. (sulfaatijad, raua- ja mangaanibakterid) 2. Mis on assimilatsioon? Dissimilatsioon? Kuidas on nad omavahel seotud? Assimilatsiooni moodustavad organismi kõik sünteesiprotsessid. Dissimilatsiooni moodustavad organismi kõik lagundamisprotsessid. 3. M...
AATOMIEHITUS, OMADUSED orbitaal – ruumiosa, kus elektroni leidmise tõenäolsus on suur peakvantarv n – määrab elektroni energiataseme/nivoo, näitab elektronkihtide arvu aatomis // vastav perioodi numbrile tabelis n = 1, 2, 3, ..., 7 kihid K, L, M, N, O, P, Q mida kaugemal tuumast elektron on, seda nõrgemini on ta seotud tuumaga ja seda suurem on ta energia. 2 maksimaalne elektronide arv energeerilisel nivool on 2 n => 2)8)18)32)etc orbitaalkvantarv l – määrab elektroni energia alanivoo, iseloomustab orbitaali kuju l = 0, 1, 2, 3, ..., n-1 l = 0 => s-orbitaal l = 1 => p-orbitaal l = 2 => d-orbitaal elektrone, mille l võrdub nt 0, 1, 2, 3, nimetatakse vastavalt s-, p-, d- ja f-elektronideks magnetkvantarv m – määrab orbit...
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z...
ANALÜÜTILISE GEOMEETRIA VALEMID 1. Vektori koordinaadid a = Xi +Yj + Zk = ( X ; Y ; Z ) 2. Vektori koordinaatide seos lõpp- ja alguspunktide koordinaatidega AB = ( x B x A ; y B y A ; z B z A ) 3. Vektori pikkus a = X +Y +Z 2 2 2 X Y Z cos = ; cos = ; cos = 4. Vektori suuna koosinused a a a cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 5. Vektorite võrdsus a = b, ( X 1 = X 2 ; Y1 = Y2 ; Z 1 = Z 2 ) 6. Vektorite summa c = a + b, ( X 3 = X 1 + X 2 ; Y3 = Y1 + Y2 ; Z 3 = Z 1 + Z 2 ) 7. Vektori korrutamine skalaariga b = na, ( X 2 = nX 1 ; Y2 = nY1 ; Z 2 = nZ1 ) X 1 Y1 Z...
TASANDID Anna Karin Ericson 12.klass Tasand • - normaalvektor • a, b, c – telglõigud • A, B, C, D – kordajad tasandi üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand • Tasandi normaalvõrrand =0 NB: Märk ruutjuure ees võetakse vastupidine D märgiga. • Nurk tasandite vahel = • Tasandite paraleelsuse tunnus ↔ • Tasandite ristseisu tunnus =0↔ Ülesanne 1 •Leia tasandite vaheline nurk 5x – y + 3z = 2 ja 2x – 2y – 4z + 6 = 1 = 90°...
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring,...
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0 t: a2x + b2y + c2 = 0 I ühtivad: a1/a2=b1/b2=c1/c2 II p...
Aine- ja energiavahetus 1. Autotroof- (isetoitujad) valmistavad ise orgaanilist ainet, kasutades selleks valgus- või keemiliste reaktsioonide energiat ja mineraalaineid. Nt taimed, vetikad, bakterid (tsiianobakterid, kemosünteesijad bakterid), sinivetikad. Heterotroof- (valmistoitujad) saavad ainet ja energiat toitu lagundades. Nt loomad, seened, bakterid, protistid, lihasööjad taimed (huulhein, võipätakas, vesihernes). Metabolism- organismi kõik biokeemilised protsessid, mis tagavad aine- ja energiavahetuse ümbritseva keskkonnaga. (assimilatsioon ja dissimilatsioon). Assimilatsioon- organismis toimuvate sünteesiprotsesside kogum. (valgu süntees, sahhariidide süntees, fotosüntees). Dissimilatsioon- organismis toimuvate lagundamisprotsesside kogum. (rakuhingamine, valgu lagundamine). 2. Organism saab energiat toitainetest. 3. Toitainete kasutamise järjekord: I Sahhariidid (gcl)- 1g 4kcal (17,6 kJ). Varu on taimedel tärklises (mugul, vars...
LEONTIEFI MUDEL Majandusteaduses on kasulik luua matemaatilised mudelid, kuna need aitavad majanduses toimuvat paremini kirjeldada. Kõike majanduses toimuvat ühe mudeliga kirjeldada ei saa. Seega valib uuria välja olulisemad seosed erinevate nähtuste vahel ja kirjeldatakse nähtuste konkreetse mudeli seisukohalt asjakohaseid omadusi. Mudel peab: 1. kirjeldama võimalikult hästi reaalsust; 2. olema lihtsustatud; 3. ülevaatlik. Leontiefi mudel on tuntud mudel majandusteaduses, kus kasutatakse maatriksarvutust. Leontiefi mudel kirjeldab majanduses toimuvat tootmisprotsessi ehk tootmiseks vajalike sisendite ja väljundite vahelisi seoseid. Leontiefi mudel on sisendi väljundi mudel. Leontiefi mudeli järgi on kogu majandus jaotatud kindlaks hulgaks tootmisharudeks, mis on omavahel põimunud, sest ühe haru toodandu valmistamiseks kulub paljude teiste harude toodangut ning tootmistehnoloogia peab jääma muutumatuks (erinev...
Aine-ja energiavahetus 1. Selgita mõisted: • Autotroof- isetoituja, moodustab mineraalainetest orgaanilisi aineid, kasutades valgus- v keemilise siseme energiat nt. taimed, vetikad, bakterid( tsüano-, raua- ja väävlibakter) • Heterotroof- kasutavad valmis toitaineid nt. loomad, seened, bakterid, arhed, algloomad, parasiittaimed, putuktoidulised taimed • Metabolism- organismi kõik biokeemilised protsessid, mis tagavad aine- ja energiavahetuse ümbritseva keskkonnaga. nt. inimene võtab hapnikku, toitu ja vett, annab CO2, uriini, rasu, higi, väljaheiteid, soojust • Assimilatsioon- sünteesi protsessid nt. valgud, D vitamiin, glükogeen, rasvad, hormoonid, ensüümid, DNA, RNA • Dissimilatsioon- lagundamisprotsessid nt. suhkrud, rasvad, valgud • Makroenergiline ühend (energiarikkad sidemed)- energia sidumine ja edasiandmine ATP ehitus ja energia salvestamine / vabastamine ATP-...
Lineaarkujutus ja teisendus. Olgu hulgad V, W vektorruumid. Aksioom1 Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( a + b) = f (a) + f (b). Järeldus1 Olgu = = 1 f ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes. Järeldus2 = 0 f ( a ) = f (a ) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes. Järeldus3 = = 0 f ( 0 ) = 0 Aksioom2 Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi. Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga f. Lineaarkujutiste liitmisel ja korrutamis...
Sirged ja tasandid Kordamine Sirge kanoonilised võrrandid: Antud on 2 sirge punkti A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 = y - y1 = z - z1 B( x 2 ; y 2 ; z 2 ) : x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1 Antud on 1 sirge punkt A( x1 ; y1 ; z1 ) ja x - x1 y - y1 z - z1 = = sx sy ...
KORRUTAMISE ABIVALEMID (a+b)(a-b)=a²-b² - ruutude vahe valem (a+b)²=a²+2ab+b² - summa ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a ...
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused · Tehete sooritamine vektoritega geomeetriliselt ja koordinaatkujul; · vektorite kasutamine geomeetriaülesannete lahendamisel; · sirge võrrandi koostamine, kui sirge on määratud punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga, kahe punktiga, punkti ja sihivektoriga; · sirge tõusu määramine; · kahe sirge vahelise nurga...
SIRGE JA TASANDI VÕRRANDID Sirge tasandil Sirge ruumis Tasand Parameetrili ne vektorvõrra s : AX = ts t R : AX = t1u + t 2 v t1 , t 2 R nd --||-- koha- vektorite s : x = a + ts t R : x = a + t1 u + t 2 v t1 , t 2 R kaudu Parameetrili sed x1 = a1 + ts1 x1 = a1 + t1u1 + t 2 v1 vektorvõrra x1 = a1 + ts1 ...
Sirge võrrandid Heldena Taperson www.welovemath.ee Sirge tõus • Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x-telje positiivse suuna ja sirge vahel y s x NB! Tõusunurk on alati 0o ja 180o vahel. y y s s x x Tõusunurk on Tõusunurk on teravnurk – sirge nürinurk – sirge tõuseb langeb y y s s x x Tõusunurk on täisnurk – Tõusunurk on 0o– sirge sirge on paralleelne y- on paralleelne x-teljega teljega Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit y s ...
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ...
Vektor Vektor on suunatud sirglõik. Sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus. Siht näitab, kuidas vektor asetseb. Suund näitab, kummale poole on vektor suunatud. Pikkus näitab vektori arvväärtust. Kui vektori alguspunkt on A ja lõpppunkt on B, siis vektorit tähistatakse . Vektorit tohib tähistada ka väiketähega, näiteks Üldiselt mõistetakse matemaatikas vektori all vabavektoreid kui pole öeldud teisiti. Samasihilisteks ehk kollineaarseteks ehk paralleelseteks nimetatakse vektoreid, mis asetsevad ühel ja samal sirgel või paralleelsetel sirgetel. Vektorid on võrdsed, siis kui nad on võrdsete pikkustega, kollineaarsed ja samasuunalised. Vastandvektorid on vektorid, mis on võrdse pikkusega, samasihilised kuid vastassuunalised. Vektorit tasandil saab esitada arvupaari abil, milles olevaid arve nimetatakse koordinaatideks. Esimene koordinaat näitab, kuidas tuleb liikuda x-telje sihis, et jõuda vektori alguspunktist...
1. Ristkoordinaadid- kui ruumis on antud ristkordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määratud ristkordinaatidega x,y,z, kus x on punkti P ristprojektsioon absissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaattelele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaattelele P(x,y,z) 2. Kahe punkti vaheline kaugus- Kui P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2) on ruumi punktid siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga √ 2 2 d= ( x 2−x 1 ) + ( y 2− y 1 ) + ( z 2 + z 1) 2 3. Vektori mõiste-Vektor on suunatud lõik millel on kindel algus- ja lõpp-punkt. 4. Nullvektor-Vektorit, mille pikkus on null, nimetatakse nullvektoriks ja tähistatakse sümboliga . Nullvektori suund on määramata. 5. Ühikvektor- Kui vektori pikkus on 1 6. vektorite liitmine-rööpkülikureegel: Vektorite a ja b summaks nimetatakse niisugust v...
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (r...
aeroobne glükolüüs - glükoosi osaline lõhustumine. anaeroobne glükolüüs - anaeroobses keskkonnas toimuv biokeemiliste reaktsioonide ahel, mille tulemusena tekib glükoosist laktaat. metabolism - organismis toimuvad omavahel ja keskkonnaga seotud keemiliste reaktsioonide kogum. assimilatsioon - sünteesiprotsessid (vaja energiat, ainet, ensüüme) dissimilatsioon - lõhustamisprotsessid (vaja ainet, ensüüme, energia salvestamise võimalust) ATP - energia talletaja ja ülekandja (koosneb lämmastikalusest (adeniin), riboosijäägist ja 3-st fosfaatrühmast) ADP molekul, mille koostises on 2 fosfaatrühma makroergiline ühend- osaleb kõigi organismide aine ja energiavahetuses autotroof organism, kes sünteesib eluks vajaliku väliskeskkonnast pärit anorgaanilistet süsinikuühenditest heterotroof organism, kes saab eluks vajaliku süsiniku toidust miksotroof - organism, kes suudab energia ja/või süsiniku saamiseks kasutada mitut tüüpi allikaid. Calvini...
Sirge tasandil © T. Lepikult, 2010 Lõigu pikkus Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vaheline kaugus ehk neid ühendava lõigu pikkus d on leitav valemiga d = ( x2 - x1 ) 2 + ( y2 - y1 ) 2 . y Valemit saab põhjendada B Pythagorase teoreemiga. y2 d y2 - y1 y1 A x2 - x1 0 x1 x2 x Lõigu keskpunkt Punktide A(x1; y1) ja B(x2; y2) vahelise lõigu keskpunkti C koordinaadid on leitavad valemitega 1 1 x0 = ( x2 - x1 ) , y0 = ( y2 - y1 ) . 2 2 y B y2 y0 C y1 A ...
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
AINEVAHETUSE ÜLDISELOOMUSTUS METABOLISMI PÕHIMÕISTED Metabolism = ainevahetus kõigi elusrakus kulgevate keemiliste reaktsioonide võrk Katabolism keerulise ehitusega ühendite lagundamisega (degradatsiooniga) seotud reaktsioonide kogum Anabolism raku makromolekulide sünteesiga seotud reaktsioonide kogum Vahemetabolism ainevahetusreaktsioonid, milles osalevad (intermediaarne metabolism) väikesed molekulid (nn. intermediaadid) Metaboliidid raku ainevahetuses osalevad ained Metaboolsed rajad järjestikuste ensüüm reaktsioonide ahelad; ühe lõppprodukt on substraadiks järgmises reaktsioonis Metaboolsed rajad on paljuastmelised · Lineaarsed · Hargnenud · Tsüklilised METABOLISM KULGEB ÜKSIKUTE, KONTROLLITUD ASTMETENA Glükoosi kontrollimatul lagundamisel vabaneks korraga suur hulk energiat. Paljuastmelises ensümaatilises protsessis on vabanevad energiahulgad väikesed (mitte üle 60 kJ/mol) ja...
1 D. Mineraaltoitumine Kuidas on defineeritud taime toitainena vajalik mineraalelement Taimede toitumiseks vajalik mineraalelemendina mõistetakse selliseid elemente, mida taim saab mullast ja mis on vajalikud taimede elutsükli läbimiseks, mida ükski teine element ei asenda. Vajalik element toimib raku sees ja mitte takistades/soodustades teiste elementide neeldumist. Millised omadused peavad olema taimede toitesegul Õiges kontsentratsioonis kõiki vajalikke toiteelemente. Normaalseks kasvuks ja arenguks on vaja 17 keemilist elementi, millede sisaldus ja omavahelised proportsioonid erinevates taimedes ja taimekudedes on küllaltki sarnased ja nende 17 elemendi ja valguse olemasolu korral taim on suuteline sünteesima kõiki ühendeid, mida ta vajab. Lisaks õige pH, sest paljude mineraalainete omastamine sõltub selle väärtusest. Defineerige füsio...
Aine- ja energiavahetus Autotroof - organism, kes sünteesib elutegevuseks vajalikud orgaanilised ühendid väliskeskkonnast saadavatest anorgaanilistest ainetest. (nulg, rukkilill) Heterotroof organism, kes saab oma elutegevuseks vajaliku energia toidus sisalduva orgaanilise aine oksüdatsiooniks (jõekäsn, vihmauss). Metabolism organismi kõik biokeemilised protsessid, mis tagavad aine- ja energiavahetuse ümbritseva keskkonnaga. Jaotatakse assimilatsiooniks ja dissimilatsiooniks. Assimilatsioon organismis toimuvate sünteesiprotsesside kogum. Dissimilatsioon organismis toimuvate lagundamisprotsesside kogum. Makroergiline ühend madalmolekulaarne orgaaniline ühend, mis osaleb keemilise energia salvestaja ja ülekandjana biokeemilistes reaktsioonides. Nt. ATP, GTP. Organism saab energiat valgusenergiast, glükoosi lagundamisel, toitainete lagundamisel. Organismi varustamine energiaga: Iga organism vajab oma ...
Kompleksarvud Kompleksarvu mõiste. Kompleksarve on kombeks tähistada väikese tähega z. Kompleksarvudel on mitmeid esitusviise ehk kujusid. Kõige levinum on kompleksarvu algebraline kuju. Def Kompleksarvuks (algebralisel kujul) nimetatakse arvu z = a + ib, kus a ja b on reaalarvud ja i on imaginaar ühik. Imaginaarühik, mida tähistatakse i, defi'kse võrdusega i2 = -1.Kõigi kompleksarvude hulka tähistatakse C. Def Kompleksarvu z = a + ib C korral nim arvu a R selle kompleksarvu reaalosax ja arvu b R nim selle kompleksarvu imaginaarosaks. Kaks kompleksarvu on võrdsed parajasti siis, kui 1) on võrdsed nende reaalosad, 2) on võrdsed nende imaginaarosad. Algebraline kuju on kompleksarvu kujudest kõige levinum. Kuid on ka teisi esitusviise. Kompleksarve nim arvudex, sest nendega saab sooritada aritmeetilisi tehteid: liitmist, lahutamist, korrutamist, jagamist. Komar liitmine ja lahutamine on kõige otstarbekam teha algebralisel kujul. Def. Ko...
aeroobne glükolüüs - kõigi rakkude tsütoplasmas toimuv glükoosi esmane lagundamine hapnikurikkas keskkonnas. Protsessi tulemusena saadakse ühest glükoosimolekulist kaks püroviinamarihappe molekuli. anaeroobne glükolüüs(käärimine) - hapniku puudusel rakkude tsütoplasmas toimuv glükoosi lagundamine, mille üheks lõpp-produktiks on kas piimhape või etanool metabolism - organismi kõik biokeemilised protsessid, mis tagavad aine- ja energiavahetuse ümbritseva keskkonnaga. Jaotatakse assimilatsiooniks ja dissimilatsiooniks. assimilatsioon - organismis toimuvate sünteesiprotsesside kogum dissimilatsioon - organismis toimuvate lagundamisprotsesside kogum ATP - (adenosiintrifosfaat) kõigis rakkudes olev makroergiline ühend, osaleb raku energia talletaja ja ülekandjana; molekul koosneb: adeniin, riboos, 3 fosfaatrühma ADP - (adenosiindifosfaat) toimib paljudes ainevahetusreaktsioonides (näiteks glükolüüsis ja hingamisahelas) energia ja fosfaadi üle...
Eksami kordamisküsimused Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria (2015- 2016 aasta sügis) Ristkoordinaadid. Kui ruumis on antud ristkoordinaadisüsteem, siis ruumi iga punkt P on üheselt määrastud ristkoordinaatidega x, y, z, kus x on punkti P ristprojektsioon abstsissteljele, y on punkti P ristprojektsioon ordinaatteljele ja z on punkti P ristprojektsioon aplikaateljele. Kirjutame P(x, y, z). Kahe punkti vaheline kaugus. Kui P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) on ruumi punktid, siis kaugus d punktide P1 ja P2 vahel on määratud valemiga Vektori mõiste Vektor on suunatud lõik alguspunktiga punktis A ja lõpp-punktiga punktis B. Nullvektor Eukleidilises ruumis (näiteks tasandil) on nullvektoriks määramata suunaga vektor, mille pikkus on null. Ühikvektor Kui vektori pikkus on 1, siis teda nimetatakse ühikvektoriks. Vektorite liitmine ja lahutamine Lahutamine toimub sama põhimõtte järgi. Reaalarvu ja vektori korrutis. Vektori pikk...
FOTOSÜNTEES http://www.youtube.com/watch?v=OYSD1jOD1dQ Koostas Kersti Veskimets Vaata kogu fotosünteesi FOTOSÜNTEES Valgus- energia hapnik Laulame 8 minutit valgusstaadiumis t Laulame 6 min p imedusstaadiumi st süsinikdioksiid vesi Laulame: http://www.youtube.com/watch?v=tSHmwIZ9FNw&feature=related Üldvõrrand: 6H2O + 6CO2 C6H12O6+ 6O2 Valgusenergia abil süsihappegaasi ja vee molekulid ühinevad ning tekib orgaaniline aine – glükoos. Glükoosi molekulis talletub valguse energia. Eraldub ka hapnik. Head pildid ja tekst Fotosüsteemidest ja rootorist ATP rootori töö: http://www.youtube.com/watch?v=5sGqbnQoyrI&feature=related Lehtedes on kloroplastid Vaata kloroplastide liikumist rakus ...
Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuld...
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b b...
Püstprisma sin 0 1 2 3 1 2 tan tan 2 = Ruumala: V = S p h 2 2 1 - tan 2 2 Külgpindala: S k = PH sin cos 1 3 2 1 0 tan = Täispindala: S t = S k + 2 S p 2 1 + cos 2 2 2 1 - cos Korrapärane püramiid sin = ± 1 ...
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b b...
B Fotosüntees Kirjutage elektronide liikumise rada alates e- doonorist kui lahuses on ühendid redokspotentsiaalidega +0.82, -0.05 ja -1,3 V -1,3-0,05+0,82 Redokspotentsiaal = elektronafiinsus Nimetage mõni fotosünteesi valgusreaktsioonides osalev ühend/kompleks mis paikneb kloroplastide luumenis Plastotsüaniin (asub luumenis et elektronid liiguks plastokinoonilt ikka Cytb6f-le,mitte plastotsüaniinile) Taimed kasutavad fotosünteesis millist valgust? Fotosünteetiliselt aktiivne valgus 400 700 nm. Loetlege viis sinist valgust absorbeerivat pigmentide rühma taimedes Klorofüll a Klorofüll b Karotinoidid Fütokroomid Krüptokroomid Nimetage fotosünteetiliselt aktiivse valguse lainepikkuste vahemik ja nimetage pigmendid mis fotosünteesis kasutatavat valgust absorbeerivad 400 700 nm. Peamised pigmendid on klorofüllid. Rohelise ja kollase valguse jaoks ksantofüllid ja karotinoidid. Ühe mooli violetsete kvantide ...
Kordamisküsimused 12. klassile 1. Tooge kolm näidet, milleks vajavad rakud vett. Ainevahetus toimub ainult vedelas keskkonnas, hoiab raku temperatuuri, osaleb reaktsioonides 2. Tooge näide süsivesikute, lipiidide ja valkude kaitseülesannetest. valk- rakumembraani ehitus, karvad jne... 3. Glükoosi tähtsus organismides. glükoos reageerib hapnikuga, mille tulemusel vabaneb energia 4. Põhjendage, miks ,,raud teeb mehe tugevaks" hemoglobiin sisaldab raua aatomeid, hemoglobiin tassib hapniku aatomeid, ja mida rohkem hapniku seda parem. 5. Kaltsiumi ja D-vitamiini tähtsus D vitamiin viib kaltsiumi ioonid rakkudesse ning luud on tehtud kaltsiumist. 7. Kolesterooliirikkad toiduained on ... munakollane, subproduktid, rasvased liha- ja piimatooted 6. Insuliini tähtsus reguleerib glükoosi taset veres 8. Valgud on ..., mille monomeerideks on ... , mille vahel on ...sidemed. Bipol...
1.Vektorruumis on ainult üks nullelement tõestus: Olgu V vektorruum 2 omadus ütleb, et leidub . Olgu meil vektorruumis 1 ja2 vektorruumid. Vastavalt 2 saame seosed x+ 1 =x, 1 +x =x iga xV, y+ 2 =y, 2+y=y iga yV. Valime teises seoses x= 2 ja kolmandad seoses y= 1 Saame 1+ 2= 2 ja 1 +2= 1 oleme saanud 1=1 +2 =2 , et 1 ja 2 olid V nullelemendid, siis on kõik V nullelemendid omavahel võrdsed, st. Saab olla vaid üks nullelement. 2.Sirgete kimp, mis sisaldab teineteisest erinevaid sirgeid üldvõrranditega s: A1x1+A2x2+A3=0; t: B1x1+B2x2+B3=0; koosneb parajasti nendest sirgetest, mille üldvõrrand avaldub kujul (A1x1+A2x2+A3)+(B1x1+B2x2+B3)=0; kus ja on vabalt valitud reaalarvud, mis ei ole korraga nullid. Tõestus: 1) On vaja näidata, et uus võrrand kirjeldab alati antud kimpu kuuluvat sirget: Olgu P(p1,p2) antud kibu keskpunkt, st Ps ja Pt, mistõttu P koordinaadid peavad rahuldama mõlemat võrradit- A1P1+A2P2+A3=0 ja B1P1+B2P2+B3=0. Olgu ,R, ...
Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tun...
Kordamisküsimused 1) Kompleksarvu mõiste. Kompleksarvu algebraline kuju ja tehted algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b-imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k- arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= z 1 ( a1 +b 1 i ) (a 2+b 2 i) (a1+b1i)*(a2+b2), = z 2 ( a2 +b 2 i ) (a 2+b 2 i) 2) Kompleksarvu trigonomeetriline kuju ja tehted trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y- telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy ...
w rev - w 0 1. Selgitage järgmisi keemilise termodünaamika kuumemalt kehale külmemale. Kui gaas paisub mahust põhimõisted:termodünaamiline süsteem, vaakumisse siis x suureneb , q paisub, saabub tasakaal. tasakaal,temperatuur. 5. Töö, soojuse ja siseenergia arvutamine ideaalgaasile , kokkusurumisel: Kuidas on defineeritud absoluutne temperatuuriskaala? isotermilise, isokoorilise ja isobaarilise protsessi korral. Termodünaamiline süsteem süsteem eeldab et ta oleks V2 V1...
A. veevahetus taimes 1. Defineerige veepotentsiaali mõiste Mõistet kasutatakse vee liikumise suuna iseloomustamiseks (muld, taim, atmosfäär). Iseloomustab vee energeetilist seisundit. Vesi liigub kõrgema vaba energiaga süsteemist madalamasse piirkonda. Võrdub vee keemilise potensiaaliga, mis on väljendatud rõhuühikutes ja avaldatud standardtingimustes paikneva puhta vee keemilise potensiaali suhtes. 2. Defineerige aine elektrokeemilise potentsiaali mõiste ja ühikud Energia (J/mol), mis kombineerib keemilise pot. ja elektrilise pot. 3. Nimetage veepotentsiaali väärtust mõjutavad tegurid Mõjutavad samad tegurid, mis vee elektrokeemilise potensiaali valemis. Lisaks sõltub neljast erinevast potensiaalist gravitatsiooni, maatriks, rõhu, kontsentratsiooni. 4. Nimetage ja põhjendage ksüleemi anatoomilise ehituse kohastumused vee juhtimiseks Ksüleem (tõusev vool) taime juhtkude, mille põhifn. on vee transport kogu taime ulatuses. Trahheed ...
sin2 + cos2 = 1 tan = sin /cos 1+tan2 = 1/cos2 sin2 = 1 cos2 sin = tan *cos cos2 = 1/tan2 +1 cos2 = 1 sin2 cos = sin /tan cos2 1 = - sin2 cot = cos /sin cot =1/tan sin2 1 = - cos2 cos = cot *sin tan *cot =1 sin = cos /cot 1+cot2 = 1/sin2 sin = cos (90o ) sin = vastas kaatet/hüpotenuus cos = sin (90o ) cos = lähis kaatet/hüpotenuus tan = 1/tan (90o ) tan = vastas kaatet/lähis kaatet cot =tan (90o ) cot = lähis kaatet/vastas kaatet tan = cot (90o ) Kolmnurga pindala Koosinusteoreem Siinusteoreem S=a*h/2 a2=b2+c2-2bc*cos ...
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuv...
1. Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigon...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
