n g ( ) x i i = x i 0 i =1 xi 0 i =1 m.o.t.t. b b = f ( x ) dx + g ( x ) dx a a 6. Määratud integraal ei sõltu integreerimismuutuja tähistusest b b b f ( x ) dx = f ( t ) dt = f ( u ) du = a a a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi b f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) - F ( a ) b a a b f ( t ) dt = F ( t ) = F ( b) - F ( a) b...
,,t" tähistab KÕIKI argumendi väärtusi lõigul [a, x+x] · Seega vaatleme nüüd funktsiooni f(x) ja tema määratud integraali mitte konkreetsel lõigul [a,x] vaid funktsiooni muutliku pikkusega lõigul [a , x+x], kus x tähistab x-i arvulist muutumist. Seega võib määratud integraal omada erinevaid konkreetseid väärtusi vastavalt lõigu pikkuse muutumisele x võrra. x a · Sedaviisi saame integraali f(t) dt , mis tänu muutumatule a-le on ülemise raja x funktsioon (muutuv suurus). Tähistame selle muutuva suuruse (ülemise raja funktsiooni) eraldi sümboliga (x) x a...
1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on...
n g ( ) x i i = x i 0 i =1 xi 0 i =1 m.o.t.t. b b = f ( x ) dx + g ( x ) dx a a 6. Määratud integraal ei sõltu integreerimismuutuja tähistusest b b b f ( x ) dx = f ( t ) dt = f ( u ) du = a a a Tõestus: Newton-Leibniz'i valemi järgi b f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b) - F ( a ) b a a b f ( t ) dt = F ( t ) = F ( b) - F ( a) b...
Veahinnangud. Näited. Tatjana Kruglova 142442IAPB Sisukord Määratud integraal.................................................................................................................................3 Pindfunktsioon ning selle tuletis........................................................................................................3 Kõverjoonelise trapetsi pindala..........................................................................................................4 Määratud integraali mõiste................................................................................................................5 Definitsioon 1................................................................................................................................6 Määratud integraali omadused...
Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c. Def2 Avaldist kujul F ( x ) + C, kus F ( x on funktsiooni f ( x ) mingi algf...
Veahinnangud. Näited 2015 Määratud integraali arvutamine Simpsoni valemiga Simpsoni valemiga määratud integraali leidmiseks teosteme lõigu [a, b] alajaotuse 2n võrdseks osaks: x 0 a x1 x 2 ... x 2 n 1 b x 2 n Joonis 1 ja märgime jaotuspunktidele x1, x2, ...., x2n-1 vastavad punktid funktsiooni f(x) graafikul AB vastavalt tähtedega P1, P2, ... , P2n-1, kusjuures P0 = A, Pn = B (joonis 1). Olgu i mingi paaritu arv (0
Tallinna Tehnikaülikool Määratud integraali ligikaudne arvutamine trapetsvalemiga Referaat Koostas: Denis Rästas 155552IAPB Õpperühm: IAPB15 Juhendaja: Gert Tamberg Tallinn 2016 1. MÄÄRATUD INTEGRAAL........................................................................................... 3 1.1. Pindfunktsioon ja tema tuletis..........................................................................3 1.2. Kõverjoonse trapetsi pindala............................................................................4 1.3. Määratud integraali mõiste.............................................................................. 6 1.4. Määratud integraali omadused.........................................................................7 Omadus 1...
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Integraal Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni [F(x)+c], mille tuletis on võrdne f(x). Funktsiooni f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + c nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ning konstanti c nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx = 2 +c sin xdx =-cos x +c cos xdx =sin x +c dx cos 2 x = tan x + c dx x = 2 x +c e x dx =e x dx x = ln...
12. Määratud integraal
Olgu lõigul [a, b] määratud funktsioon f(x). Jaotan lõigu osalõikudeks [xi-1,xi], kusjuures
a=x0
ÕPPEAINE MATEMAATILINE ANALÜÜS I (kood YMM3731) PROGRAMM Õppeaine eesmärk · Anda ühe muutuja funktsiooni diferentsiaal- ja integraalarvutuse teoreeti-lised alused. · Õpetada lahendama mainitud teooriaga seotud põhilisi ülesandeid. · Näidata esitatud teooria võimalikke rakendusi praktikas ja teistes teadus- harudes. · Harjutada üliõpilasi matemaatilise sümboolikaga. Maht: 5 EAP ainepunkti, nädalatundide arv 2-0-2. Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis...
Piirväärtust limx 0y/x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x. T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal. T2. Kui on olemas tuletised f' (x ) ja g' (x ), siis on olemas ka tuletised: a) [f(x)+g(x)]', b) [f(x)-g(x)]', c) [f(x)g(x)]', d) [f(x)/g(x)]',(kui g(x)0), kusjuures kehtivad järgmised seosed: a) [f(x)+ g(x)]' =f'(x)+g'(x), b) [f(x)-g(x)]' =f' (x)-g' (x), c) [f(x)g (x)]' = f'(x)g (x)+f(x)g '(x), d) [f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g2(x) , (kui g(x) 0). T3. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F' (x ) = f' (u)' (x ). T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f'(x ), siis on pöördfunktsioonil olemas tuletis '(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ' (y) =1/F'(x...
Piirkonna D (x,y)ЄD igale punktile vastab z=f(x,y). Piirkond D on funktsiooni f määramispiirkond. Osatuletiste rakendused: Ekstreemumi (min, max) leidmine. Punkt, kus osatuletis on 0, nim. kriitiliseks punktiks. P(xo,yo). Puutujatasandi võrrand: fx(x0,y0)x+fy(x0,y0)y-z+d=0. Punkt Q0(x0,y0,z0) kuulub puutujatasandile.Seal pt.s puutujatasandiga risti olev vektor n on pinna normaal pt.s Q0. 2. Määratud integraal ja selle geomeetrilised rakendused: tasapinnalise kujundi pindala, joone kaare pikkus, pöördpinna ruumala ja pindala, näiteid Nimetatakse integraalsummade piirväärtuseks. Newton-Leibinzi valem lubab määratud integraale arvutada määramata integraalide abil. Integreerimise omadusi: 3+2 valemit Rakendused: 1) Tasap. kujundi S=int(ülem-alum) 2) Joone kaare pikkus VALEM 3)Pöördpinna ruumala VALEM 4) Pöördpinna pindala 3...
analüüsi eksami küs. vastused: OSA 1 1. Millisel tingimusel nimetatakse sümbolit x muutujaks mingis hulgas X? Kui sümbol x tähistab hulga X suvalist elementi, siis nimetatakse sümbolit x muutujaks hulgas X 2. Tooge hulkade kohta 2 näidet! y fx () Reaalarvude-, kompleksarvude-, vektorite-, maatriksite-, kaubahalli kauba hulk. 3. Mis on operaator? Tooge 2 näidet! Eeskirja f(f()fx()) , mis näitab kuidas leida muutuja x väärtusele hulgas X vastavat muutuja x hulgas Y, nimetatakse operaatoriks. väärtust f ( x) Näited: aritmeetilised tehted reaalarvudega, aritmeetilised tehted kompleksarvudega,...
Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega). J={x0,x1,..,xn} lõigu [a,b] jaotus 3. Lõpmatult vähenevad suurused ja nende järk. Igal lõigukesel xi=xi-xi-1 i=1,2,..,n võtame p...
Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet...
Reaalarvu mõiste Tähistame sümboliga N kõigi naturaalarvude hulga, st N = {1, 2, 3,...} ja sümboliga Z kõigi täisarvude hulga, st Z = {...,3,2,1, 0, 1, 2, 3,...}. p Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve kujul q , kus p ja q on täisarvud, q 0. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q. Ratsionaalarvudeks on parajasti need arvud, mis on esitatavad lõplike või lõpmatute perioodiliste kümnendmurdudena. Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Kõik ratsionaalarvud ja irratsionaalarvud moodustavad reaalarvude hulga. Kõigi reaalarvude hulga tähistame sümboliga R. Iga lõplikku kümnendmurdu a= , 12 ...n saab esitada lõpmatu kümnendmurruna kahel viisil: a = , 12 ...n 00... või a =...
A B C 1 2 3 Tallinna Tehnikaülkool 4 5 Ehitusteaduskond 6 7 8 Töö: Tabelid 9 10 Üliõpilane: 11 12 Õppejõud: 13 14 Õppemärkmik: 15 16 Õpperühm: 17 18 19 20 21 D E 1 2 3 na Tehnikaülkool 4 aduskond 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Variandid Hinnad Tööötajad Rakendus "Puidu müük". Ülesande püstitus Koostada rakendus, mis võimaldab teha puidu müümise arvestust. Rakenduse andmemudel on toodud skeemil. Rakenduses kasutada nimesid!!! Müüjate andmed eraldada eraldi töölehele tabelisse M_töötajad vastavalt variandile (kolm valda) tabelist Töötajad, kasutades arendatud filtrit. Eraldada skeemil näidatud väljad toodud järjekorras. Sorteerida tabel kahe tunnuse: vald ja nimi, järgi....
Pöördkehade ruumala arvutamine · Pöördehade ruumala arvutamisel kasutatakse pöördkeha poolküljeristlõike funktsioonivalemit ja määratud integraali . 1) On vaja funktsioonivalemit, millest pöördkeha moodustada. Olgu selleks y = f ( x) 2) Et leida ruumala, tuleb funktsioon võtta ruutu, selle ruutu integreerida ja korrutada - h ( f ( x) ) dx , kus integraali rajad määravad pöördkeha kõrguse x-teljel. 2 ga: V = 0 · Näide KOONUSE moodustumisest: x 1) Võtame näiteks funktsiooni y = ja määramispiirkonnaks X = [ 0; 4] 4 2) Järgmiseks leiame ruumala: 2 4 x 4 4 2 x x3 43 03 4 V = dx = dx = = - = 4 0 0 1...
Mis on funktsioon? Mis on sõltumatu muutuja, sõltuv muutuja? Kui hulga X igale elemendile x on seatud vastavusse kindel element y hulgast Y. sõltumatu muutuja ehk argument, sõltuv muutuja ehk funktsiooni väärtus 2. Mis on funktsiooni määramispiirkond muutumispiirkond? Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkond? Määramispiirkond - argumendi x selliste väärtuste hulk, mille korral on võimalik funktsiooni f(x) väärtust välja arvutada. Muutumispiirkond - muutumispiirkonna Y all mõeldakse funktsiooni kõikvõimalike väärtuste hulka. loomulik määramispiirkond - Argumendi väärtuste hulk, mille korral funktsiooni määrav eeskiri on rakendatav. 3. Millised on funktsiooni põhilised esitusviisid? Graafikuna, tabelina, analüütiline 4. Mis on funktsiooni graafik? Funktsiooni f graafik on kõikide järjestatud paaride (x, f(x)) hulk, kus x on määramispiirkonna X element...