Kaksliikmete korrutamine Kaksliikme korrutamisel kaksliikmega tuleb ühe kaksliikme kumbki liige korrutada teise kaksliikme kummagi liikmega ja tulemused liita. (a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd
KORRUTAMINE ja JAGAMINE Heli Pundonen 2009 1 Kirjuta paberile järjekorra numbrid ülalt alla 1 – 14. Näide: 1) 2) 3) Kirjuta järjekorra numbri taha ainult vastus. Tehe vilgub ainult korra! 1. KORRUTA 1) 2 4 8) 4 9 2) 3 3 9) 6 3 3) 6 2 10) 5 8 4) 5 3 11) 9 2 5) 4 4 12) 4 5 6) 7 3 13) 6 4 7) 5 6 14) 3 8 1. JAGA 1) 24 : 3 8) 30 : 5 2) 24 : 4 9) 21 : 3 3) 20 : 5 10) 16 : 4 4) 18 : 2 11) 15 : 5 5) 40 : 5 12) 12 : 2 6) 18 : 3 13) 9:3 7) 36 : 4 14) 8:4 KONTROLLI KORRUTAMIST 1) 8 8) 36 2) 9 9) 18 3)12 10) 40 4)15 11) 18 5)16 12) 20 6)21 13) 24 7)30 14) 24 KONTROLLI JAGAMIST 1) 8 ...
docstxt/12341332481429.txt
harilikmurd liigmurd segaarv 3 murru lugeja 6 7 1 - murru joon - - = 2- 4 murru nimetaja 5 3 3 MURRUD LIITMINE Ühenimeliste murdude liitmisel liidetakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited LAHUTAMINE Ühenimeliste murdude lahutamisel lahutatakse nende murdude lugejad, nimetaja jääb endiseks. Näited KORRUTAMINE Kahe hariliku murru korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nimetajaks nimetajate korrutis. Näited JAGAMINE Selleks, et jagada harilikku murdu hariliku murruga, tuleb jagatav korrutada jagaja pöördarvuga. Näited ERINIMELISED MURRUD LIITMINE Erinimeliste murdude li...
Hulkliikme korrutamine üksliikmega 1. Korruta. a) 3m(4 2m + m2) Lahendus: 3m(4 2m + m2) = 12m 6m2 + 3m3 = 3m3 6m2 + 12m b) 6a2b(1,5ab2 0,5b) Lahendus: 6a2b(1,5ab2 0,5b) = 9a3b3 + 3a2b2 c) ( m2 + 4n3) * 0,5nm2 Lahendus: ( m2 + 4n3) * 0,5nm2 = 0,5m4n + 2m2n4 2. Lihtsusta avaldis. a) 5(2a + 3b) 2(5a 2b) Lahendus: 5(2a + 3b) 2(5a 2b) = 10a + 15b 10a + 4b =19b b) ab2(a 2b) a2b(2a + b) Lahendus: ab2(a 2b) a2b(2a + b) = a2b2 2ab3 2a3b a2b2 = 2ab3 2a3b 3. Kahe arvu summa on 70, kusjuures ühe arvu kahekordne on võrdne teise arvu kolmekordsega. Leia need arvud. Lahendus: Olgu üks arv x. Kui kahe arvu summa on 70, siis teine arv on 70 x. Ühe arvu kahekordne st 2x on võrdne teise arvu kolmekordsega st 3(70 x). Saame võrrandi: 2x = 3(70 x). 2x = 210 3x; 2x + 3x = 210; 5x = 210; x = 42. ...
Murdude teisendusi. Harilike murdude korrutamine ja jagamine Mõned tähtsamad teisendused jäta meelde. 1 0,1 = 10 1 0,2 = 5 1 0,25 = 4 1 0,5 = 2 3 0,75 = 4 2 2,6 + 3) 15 Lahendus: 1 3,5 - 4) 3 Lahendus: 5 4 - 2,3 5) 8 Lahendus: a c a d : = b d b c Näide 1. Näide 2.
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)...
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti Murdude teisendusi. Harilike murdude korrutamine ja jagamine Ülesandeid kõigile tehtetele murdudega Kui ühes ülesanded esinevad nii kümnendmurrud kui ka harilikud murrud, siis üldiselt teisendatakse harilikud murrud kümnendmurdudeks, kuna kümnendmurde kasutatakse igapäeva elus sagedamini ja nendega on arvutamine lihtsam. Kui aga ülesandes on vaja leida täpne vastus ja harilik murd ei teisendu täpselt lõplikuks kümnendmurruks, tuleb kümnendmurrud teisendada harilikeks murdudeks, arvutada harilike murdudega ja anda ka vastus hariliku murru kujul. Edasi vaatame ülesandeid. 1 1. Arvuta avaldise 0,7 x väärtus, kui x = 9. 5 Lahendus: 1 0,7 9 6,3 0,...
Tehetest ligikaudsete arvudega Ligikaudsete arvudega korrutises ja jagatises tuleb säilitada nii mitu tüvenumbrit, kui mitu on neid vähima tüvenumbrite arvuga komponendis. Ligikaudsete arvude summa ja vahe tuleb ümardada kõigi komponentide ühise madalaima järguni. Näide: 2,40+18,879=21,279 ehk 21,28 Hulkliige Üksliikmete summat nimetatakse hulkliikmeks. Üksliikmeid, mille liitmisel hulkliige moodustub, nimetatakse hulkliikme liikmeteks ja nende kordajaid- hulkliikme kordajateks. Näide: 4c -3c+8c-c = Hulkliikmete liitmine ja lahutamine Kui sulgude ees on pluusmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks; kui sulgude ees on miinusmärk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Näide: (2x-5)-(x-7)+(15-9x)-(6x-3)= 2x-5-x+7+15-9x-6x+3=-14x+20=20-14x ...
Kahendsüsteem Kahendsüsteem · Kahendsüsteem ehk binaarsüsteem on positsiooniline arvusüsteem, mille alus on 2 · Kahendsüsteem on kõige väiksema sümbolite (numbrimärkide) arvuga positsiooniline arvusüsteem, sest alusega 1 ei ole positsioonilist arvusüsteemi võimalik luua · Kokkuleppeliselt kasutatakse kahte esimest araabia numbrit: 0 ja 1 Loendamine · Kahendsüsteemis toimub arvude loendamine järgmiselt: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 jne · Mitmekohalist arvu tuleb lugeda nii, nagu iga koht oleks eraldi number näiteks: 10 tuleb lugeda "üks, null", mitte "kümme" · Kuna kasutada saab ainult kahte sümbolit, siis juba kümnendsüsteemse arvu 2 esitamiseks tuleb kasutada mõlemat: 10 Kümnendsüsteemi ja kahendsüsteemi arvude vaheline seos Täisarvu teisendamine kahendsüsteemist kümnendsüsteemi · Seleks tuleb numbrimärgid korrutada vastava järgukaaluga...
VEKTORARVUTUS 1. Vektori komponendid Erinevalt skalaarist on vektoril peale suuruse määratud ka suund. Vektori suurust nimetatakse tema absoluutväärtuseks. On olemas vaid üks vektor, millel pole suunda nullvektor. Vektorid on võrdsed, kui on võrdsed nende absoluutväärtused ja suunad. Olenemata suunast on ühikvektori absoluutväärtus 1. Siin ja edaspidi kasutame vektori tähistamiseks noolekest tähise peal. Nii kujutab a vektorit, aga a sellesama vektori absoluutväärtust. z k j y i x Cartesiuse koordinaadistik ja teljesuunalised ühikvektorid. Geomeetriliselt saab vektorit kujutada noolena, mis näitab vektori suunda ja mille pikkus vastab vektori absoluutväärtusele. Vektori komponentideks nimetatakse tema projektsioone koordinaattelgedel, mis on läbi korr...
Küsimus 1 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 otsusta, kas see väide on tõene või vale: "Tautoloogia" on lause, mille tõeväärtus on alati VALE. Vali üks: Tõene Väär Küsimus 2 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Märgista järgnevas loetelus need nimed, mis loogikaseaduste hulgas tõepoolest eksisteerivad: Vali üks või enam: topeltjaatuse seadus kontrapositsiooni seadus Morgani seadus päritolu seadus neeldumisseadus DeMorgani seadus välistatud kolmanda seadus välistatud teise seadus eeldusseadus topelteituse seadus vastuolu seadus Küsimus 3 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Millised kvantorid on olemas? Vali üks või enam: Lausekvantor Üldsuse kvantor Tõekvantor Normaalkvantor Olemasolu kvantor Loogikakvantor Küsimus 4 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Mitut erinevat loogikatehet kasutatakse lausearvutuses? (sisesta arv/number: ) Vastus: 5 Küsimus 5 Õige - Hinne 1,00 / 1,00 Loogikatehetel on olemas võõrsõnalised nimetused. L...
TEHTED ASTMETEGA Astmete korrutamine a2 a3 = a 2 + 3 = a 5 4-2 45 = 4 -2 + 5 = = 43 = 4 4 4 = 64 Üksliikmete korrutamine -2ab3 3ab4c2 = -2 3 a1+1 b3+4 c2 = = -6a2b7c2 Korrutise astendamine ( -2ab)3 = (-2)3a3b3 = -8a3b3 Astme astendamine (a3)2 = (a3) (a3) = a6 VÕI (a3)2 = a32 = a6 Üksliikme astendamine (-6a3b)2 = -6a3b(-6a3b) = 36a6b2 VÕI (-6a3b)2 = (-6)2 (a3)2 b2 = 36 a32 b2 = 36a6b2 Astmete jagamine a5 : a3 = a5-3 =a2 75 : 73 = 75-3 = 72 = = 7 7 = 49 a5 3 = a 5-3 = a 2 a Üksli...
Matemaatika ülesanne 9 lk 5 vastused 4*15+20=80 240:4*5=300 15*(8:2)=60 50-123:3=9 125*2:10=25 160:(12-8)=40 40-12+20=48 520-(34+16)=470 (17+15)-19=13 5*8+4*7=68 (39-18)*30=630 38+(42-9)=71
Üks- ja hulkliikmed © T. Lepikult, 2010 Matemaatiline avaldis Matemaatiliseks ehk analüütiliseks avaldiseks nimetatakse eeskirja, mis määrab teatava skalaarse suuruse (ehk avaldise väärtuse) leidmiseks konstantide ja muutujatega sooritatavad tehted ning nende sooritamise järjekorra. Näited 1) 2 52 on matemaatiline avaldis, mille väärtus on 27. 2) r2 on matemaatiline avaldis, mille väärtuse leidmiseks tuleb esmalt leida muutuja r väärtuse ruut ja seejärel korrutada tulemust arvuga = 3,14... 3) log( 5 x 2 sin x) - selle matemaatilise avaldise väärtuse leidmiseks tuleb 1) leida siinus nurgast, mille suurus radiaanides on x; 2) leida muutuja x väärtuse ruut ja korrutada see viiega jne. 4) 32 - lihtsaimaks matemaatiliseks avaldiseks on konstant (arv). ...
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 500000000...
ARVUDE NIMED LIITMISEL: ARVUDE NIMED LIITMISEL: 7 + 6 = 13 7 + 6 = 13 LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. SUMMA on liitmise tulemus. SUMMA on liitmise tulemus. ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: 14 - 6 = 8 14 - 6 = 8 VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VAHE on lahutamise tulemus. ...
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu Nimetaja 5 näitab, et ring on jaotatud viieks võrdseks osaks. Lugeja 3 näitab, et värvitud on 3 sellist osa. MURRU JAGAMISEKS NATURAALARVUGA KORRUTAME MURDU NATURAALARVU PÖÖRDARVUGA. SEKTORDIAGRAMM TEEMADE JÄRJEKORD: 1. Murd 21.Harilike murdude korrutamine 2. Murd 22.Lihtmurdude korrutamine 3. Lihtmurd 23.Lihtmurdude korrutamine 4. Liigmurd 24.Harilike murdude korrutamine täisarvuga 5. Segaarv 25.Harilike murdude korrutamine segaarvuga 6. Liigmurru teisendamine segaarvuks 26.Segaarvu korrutamine täisarvuga 7. Murru taandamine 27.Segaarvu jaga...
Põhikooli matemaatikakursuse põhivalemid Tehe Valem 1. Harilike murdude liitmine a c ad + bc + = b d bd 2. Harilike murdude lahutamine a c ad - bc - = b d bd 3. Harilike murdude korrutamine a c ac = b d bd 4. Harilike murdude jagamine a c ad : = b d bc 5. Astmete korrutamine ...
1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi, (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on nn. imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = - 1 või i 2 = -1 . Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z 2 = a 2 + b2 i loetakse võrdseteks ( z1 = z 2 ) , kui a1 = a 2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. z = a + bi = 0 siis ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0. z = a + bi = r cos + i sin ehk z = r (cos + i sin ) Avaldist võrduse paremal poolel nimetatakse kompleksarvu z = a + bi trigonomeetriliseks kujuks; suurust r nimetatakse kompleksarvu z mooduliks ja suur...
HARILIKUD MURRUD 1 3 Murdude liigitus M u rd a vu H a rilku d K ü m n e d m u rd m urd L ih tm u rd S e g a rvu d L ig m u rd Harilikud murrud Harilik murd näitab, mitmeks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa tervest on võetud. Terviku jaotamine osadeks Harilik murd...
HARILIKUD MURRUD Murdude liigitus M u rd a vu H a rilku d K ü m n e d m u rd m urd L ih tm u rd S e g a rvu d L ig m u rd Harilikud murrud Harilik murd näitab, mitmeks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa tervest on võetud. Terviku jaotamine osadeks...
TEHTED MURDUDEGA KÜMNENDMURRUD: 1. Liitmine/lahutamine: 1) Paigutame koma alla koma. Näide: 174,6 48,328 = 174,600 2) Lisame nullid. 48,328 126,272 2. Korrutamine: 1) Jätame tegurites komad esialgu tähele panemata Näide: 64,5 - 1 koht ja korrutame neid nagu naturaalarve; · 5,6 - 1 koht 2) Loeme, mitu kohta on pärast koma mõlemas teguris kokku. 3870 3) Nõnda saame teada, mitu kohta 3225 peame vastuses komaga eraldama. 361,20 - 2 kohta Vastuses hakkame kohti lugema arvu lõpust! 3. Korrutamine/jagamine järguühikutega: 1) 0,427 · 100 = 42,7 2) 0,1 · 34,67 = ...
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil. 2)Lineaarsed tehted vektoritega. (liitmine ja arvuga korrutamine) Vektorite liitmine operatsioon, mis seab kahele ve...
Muutujad ja avaldised Sõnastik Muutuja – sümbol, tavaliselt täht, näiteks n, mis kujutab mingit arvu. Tähtavaldis (Algebraline avaldis) – avaldis, näiteks n – 5, mis koosneb arvudest ja muutujatest, ühendatud tehete märkidega. (NB!: ei sisalda võrdusmärki) Arvutada avaldise väärtus – kirjutada avaldis ümber, asendates iga muutuja vastava arvuga Kuidas sa kirjeldad antud avaldist? Tähtavaldis Tähendus Tehe 5x, 5 x 5 korda x korrutamine x 5 ,x:5 x jagatud 5 - ga jagamine x 5 x pluss 5 liitmine x 5 x miinus 5 lahutamine Määra tähtavaldise tähendus ja kasutatud tehe 1. 8 x V 2. 2w V 7 3. V n Vajuta, Vajuta,et üle ethüpata hüpata ...
1)Võrdsete alustega astmete korrutamine: Võrdsete alustega astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 2)Võrdsete alustega astmete jagamine: Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. 3)Astme astendamine: Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 4)Korrutise astendamine: Korrutise astendamisel võib astendada eraldi iga tegur ja tulemused korrutada. 5)Jagatise astendamine: Jagatise astendamisel võib enne astendada jagatav ja jagaja ning seejärel jagada esimene tulemus teisega. 6)Hulkliikme korrutamine üksliikmega: Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige korrutada selle üksliikmega (võimalisel koondame) a(b+c)=ab+ac 7)Hulkliikme jagamine üksliikmega: Hulkliike jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige jagada selle üksliikmega. 8)Hulkliikme korrutamine hulkliikmega: Hulkliikme korrutamisel hulkliikmega tuleb ühe hulkliikme iga liige läbi korrutada teise hulkliikme iga liikmega. (a+b)...
HULKLIIKMED(2.ptk) Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatake üksikliikmete summat. Kordajad 3 Hulkliikme liikmed Hulkliikmete liitmine ja lahutamine (5a-6b+7)+(2a-9b-5)=5a-6b+7+2a-9b-5 =3a+3b+12 Kui sulgude ees on + märk , siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks. Kui sulgude ees on märk, siis tuleb sulgude avamisel muuta sulgude sees olnud liikmete märgid vastupidiseks. Hulkliikmete korrutamine üksikliikmega 1,5 3( 1) Ava sulud ( ) 2) Koondatakse.( Sarnased liidetavad, astendajad ei muutu) Hulkliikmete jagamine üksliikmetega 1) Teguri toomine sulgudest välja Hulkliikme teisendamist korruiseks nimetatakse hulkliikmete tegurdamiseks. 6 6 Tuues miinusmärgi ette muudame sulgudes märgid vastupidiseks. Kaksliikmete korrutamine (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd Võimalisel ka koondatakse (6a-3)(2a+3)-(3a-4)(2a+1)= Rühmitamisvõte Ruutude vahe va...
Alustatud Monday, 30. September 2013, 19:12 Olek Valmis Lõpetatud Monday, 30. September 2013, 19:14 Aega kulus 1 minut 57 sekundit Punktid 14/14 Hinne 100 maksimumist 100 Tagasiside Suurepärane, positiivne tulemus on käes! Küsimus 1 Õige Hinne 1 / 1 Märgista küsimus Küsimuse tekst Milline variant on korrektne, kui 75le tuleb juurde arvutada 35%? Vali üks: =75*1,35 Õige! Osa juurdearvutamiseks tervikule tuleb arv 75 korrutada kas 1,35 või 135%. =75*35 =75/1,35 =75*0,35 Küsimus 2 Õige Hinne 1 / 1 Märgista küsimus Küsimuse tekst Mis märgi abil saab suhtelise aadressi absoluutseks või sega-aadressiks muuta? Vali üks: £ märgi $ märgi Õige! Aadresside muutmiseks absoluutseks või sega-aadressiks kasutatakse $ märki. Absoluutaadres...
Algebralised süsteemid Algebralise süsteemi mõiste kaasneb hulga mõistest ja algebralise tehte ehk arvutusoperatsiooni mõistest. Olgu hulk M selline, mis koosneb arvudest, funktsioonidest, vektoritest võik ükskõik millistest samalaadsetest elementidest, milliseid edaspidi nimetatakse hulga elementideks. M = {a; b; c;....} a = b korral loeme kehtivaks järgmised 3 omadust: ( ekvivalentsi postulaadid 1. a = a refleksiivsus 2. kui a = b, siis ka b = a sümmeetria 3. kui a = b ja b = c, siis ka a = c transitiivsus Def1 Kui hulga M igale kahele kindlas järjekorras võetud elemendi paarile (a; b ) on seotud mingi eeskirja f alusel vastavusse üks kindel element f (a; b), siis öeldakse, et hulgas M on defineeritud arvutusoperatsioon ehk tehe. Def2 Hulka, kus on määratud vähemalt üks arvutusoperatsioon nimetatakse algebraliseks süsteemiks. Kui mistahes a, b korral hulgast M ...
1) Võrdsete alustega astme korrutamine. *Võrdsete alustega astme korrutamisel astendajad liidetakse. am x an = a m+n 2)Võrdsete alustega astme jagamine. *Võrdsete alustega astmete jagamisel astendajad lahutatakse. am : an = a m-n 3) Korrutise astendamine. *Korrutise astendamisel võib astendada iga tegur eraldi ja siis saadud tulemus korrutada. ( a x b )m am x bm 4) Jagatise astendamine. *Jagatise astendamisel võib astendada eraldi jagatava ja jagaja ja seejärel jagada üks tulemus teisega. ( a x b ) m am : bm 5) Astme astendamine, *Astme astendamisel astendajad korrutatakse. ( a m ) n = a mxn 6) Hulkliikme korrutamine üksliikmega. *Hulkliikme korrutamisel üksliikmega tuleb hulkliige iga liige läbi korrutada selle üksliikmega. ( a + b + c ) x d = ad + bd + cd 7) Hulkliikme jagamine üksliikmega. *Hulkliikme jagamisel üksliikmega tuleb hulkliikme iga liige läbi jagada selle üksliikmega. ( a + b + c ) : d = a+b+c = a:d + b:d + c:d ...
Üksliikmed Raudvara 1.osa Üksliige Üksliikmeid nimetatakse arvuliste ja täheliste tegurite korrutist. x·2·x·y·3·(-5)·z=-15x2yz Kordaja 1 ja -1 jäetakse kirjutamata. Kordaja -1 asemel kirjutatakse lihtsalt märk. 1abc=abc -1abc=-abc Sarnased üksliikmed, sest täheline osa on sama. 3ab+4c-2ab-c=ab+3c Astmete korrutamine ja jagamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. am·an=am+n 37·311=37+11=318 (-4)5·(-4)7=(-4)5+7=(-4)12=412 Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. am:an=am-n ehk. = am-n 75:72=75-2=73 Astme astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. (am)n=am·n (23)4=23·4=212 -82= -64 (2x3)4= 24·(x3)4=16x12 (-32·x3·y4)6=312·x18·y24 Negatiivne astendaja Kui arv ei ole murruna, siis tehakse see murruks ja vahetataks...
i 1 või i²1 =r(cos+sin) Transporeeritudmaatriks: Maatriksi A transporeeritud maatriks AT saadakse kui Kompleksarv: kirjutatakse maatriksi A read vastavateks veergudeks. Avaldis x iy,kus x ja y on reaalarvud ja i on niinimetatud Kordumine: nA imaginaarühik. pAT 1* 2=r1*r2*(cos(1+2) +i sin(1+2)) ...
Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o. ...
Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm: vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(*+)=*£() Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku hulgast V hulka W. elemendiks, siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes +*£() sümmeetrilise maatriksi. At=A...
REAALARVUD Joosep Andrespuk 10.A Klass Paide 2009 1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud. Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Murdudega seoses kasutatakse mõisteid harilik murd, liigmurd ja lihtmurd. On ka veel ...
1.ptk Üksliikmed 8.klass Õpitulemused Näited 1.Üksliige - korrutis, mis koosneb muutujatest ja on normaalkujulised; ja arvudest ei ole normaalkujulised 2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täh...
Raudvara 2.peatükk 1. Tegurdamine - - Tegurdamine Avaldise muutmine korrutiseks. 1.Teguri toomine sulgude ette. 2. Valemite kasutamine. ( (a+b2) = a2 + 2ab +b2 / (a + b)((a b) = a2 - b2 3. Ruutkolmliikme tegurdamine. ( ax2 +bx+c = a(x-x1)(x-x2) ) 4. Rühmitamisvõte. - Avaldise teisendamine tähendab avaldise võimalikult lihtsa või meile sobiva kuju andmine. - Võrdust, mille poolteks on võrdsed avaldised nim. samasuseks. Näide: 2. Arvulise murru taandamine - Taandamine-murru lugeja ja nimetaja jagamine ühe ja sama nullist erineva avaldisega * tegurdatakse murru lugeja ja nimetaja; * taandatakse arvulised tegurid * taandatakse muutujat sisaldavad võrdsed tegurid. Näide: 3. Korrutamine ja jagamine Korrutamine- algebraliste murdude korrutis võrdub murruga, mille lugejaks on antud murdude lugejate korrutis ja nime...
Valemid ja öpetusesönad MATEMAATIKA 6.klassile I I poolaasta Haapsalu Linna Algkool Maren Suu TEEMADE JÄRJEKORD: 20.Võrdhaarne kolmnurk 1. Peegeldus punktist ehk tsentraalsümmeetria 21.Võrdkülgne kolmnurk 2. Sümmeetrilised kujundid 22.Võrdhaarse kolmnurga omadused 3. Lõigu keskristsirge joonestamine 23.Võrdhaarse kolmnurga omadused 4. Nurga poolitamine 24.Kolmnurga alus ja kõrgus 5. Kolmnurk 25.Kolmnurga alus ja kõrgus 6. Kolmnurga külje vastasnurk ja lähisnurk 26.Täisnurkse kolmnurga pindala 7. Nurga vastaskülg ja lähisküljed 27.Kolmnurga pindala 8. Kolmnurga nurkade summa 28.Positiivsed arvud- de...
2.ptk Hulkliikmed 8.klass Õpitulemused Näited 1.Hulkliige - üksliikmete summa üksliikmed: ; ; ; 2.Hulkliikme liikmed ja kordajad - korrastatud hulkliige liikmed: üksliikmed, mille liitmisel hulkliige moodustub liikmed on ; -2 ; kordaja: iga liikme ees olen arv kordajad on 1; -2; 1 3.Korrastatud hulkliige - järjestada hulkliikme liikmed muutujate astendajate summa kahanemise järjekorras, võrdsete astendajate summa puhul lähtuda tähestikust, liikmed normaalkujulised, võimalusel koondada 4.Kaksliige - hulkliige, milles on kaks mittesarnast liiget 5.Kolmliige - hulkliige, milles on kolm mitte- sarnast liiget 6.Hulkliikmete liitmine - kui sulgude ees on plussmärk, siis tuleb sulgude avamisel jätta sulgude sees olnud liikmete märgid endiseks, s.t. ühe hulkliikme liikmed kirjutatakse teise jä...
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
Kontrolltöö I kooliastme matemaatika õpetamise metoodika I Teooria 1. Lasteaiamatemaatika kordamine ja süvendamine. 1) Mis on esemete loendamine ja millised on loendamise nõuded ? Loendamine on käeline ja sõnaline tegevus, mis seab loendatavad esemed ja järjestikused arvsõnad üksühesesse vastavusse. Samaaegselt esemetele osutamisega öeldakse arvsõnu alates ühest, viimasena öeldud arvsõna tähistab loendatavate esemete arvu (Mitu on?). Loendamine on ainus vahend, mille abil saab kindlaks teha esemete arvu. Loendamistegevus peab vastama järgmistele nõuetele: Loendada saab ainult konkreetseid esemeid ja nähtusi, mis asuvad lapse käe-, kuulde- või pilguulatuses. Loendamiseks peab laps teadma arvude järjestikusi nimetusi. Loendamise ajal käivitub nn loendamise füsioloogiline mehhanism – käsi, pea või keha hakkab arvude järjestikuste nimetuste ütlemise rütmis liikuma mööda loendatavaid esemeid....
VEKTORRUUMI MÕISTE Hulk V ={⃗a , ⃗b , ⃗c , … , ⃗x , ⃗y , ⃗z , … } on mittetühi hulk. DEF1: hulgal V on defineeritud elementide liitmine, kui igale paarile ( ⃗a , ⃗b ) ∈V ×V on seatud vastavusse element ⃗c ∈ . V × V →V ( ⃗a , ⃗b ) ↦ c⃗ =⃗a + ⃗b DEF2: hulgal V on defineeritud elemendi korrutamine reaalarvuga λ , kui igale paarile ( λ , ⃗a ) ∈ R ×V on seatud vastavusse element λ ⃗a ∈V . R ×V →V ( λ , ⃗a ) ↦ b⃗ =λ a⃗ Hulk V on vektorruum üle reaalarvude hulga R, kui sel hulgal on DEF1 &DEF2 nii, et on täidetud tingimused (vektorruumi aksioomid): 1) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V korral ⃗a + b⃗ =b⃗ + ⃗a (liitmise kommuta...
1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiiv...
Uued mõisted ja valemid 1. Hulkliikmed 5 6 1.1. 6x2y ; - a3bc5 ; 1,6xyz - üksliikmed 1 9 1.2. 3,5x2y3z ; 2 3 -2,7 x y z ; x2y3z - sarnased üksiilmed 5 6 1.3. 6 x2y- a3bc5+1,6xyz -hulkliige (üksliikmete summa) Hulkliikme kordajad 1.4. Korrastatud hulkliige ehk normaalkujuline hulkliige on hulkliige,kus liikmed on asetatud astmenäitajate summa kahanevasse järjekorda. 1.5. Kõige viimaseks kirjutatakse alati vabaliige. 1.6. Hulkliige, mis on kahe üksliikme summa nimetatakse kaksliikmeks. 1.7. Hulkliige, mis on kolme üksliikme summa nimetatakse kolmliikmeks. 2. Hulkliikmete liitmine ja lahutamine 2.1. Kõi...
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ...
FÜÜSIKALISTE SUURUSTE MATEMAATILINE KIRJELDAMINE Nagu eelmises peatükis sai mainitud, jagunevad füüsikalised suurused skalaarseteks ja vektoriaalseteks. Skalaarsed suurused Füüsikalist suurust, mis on esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga, nimetatakse skalaarseks suuruseks ehk skalaariks (scla -- ladina k. redel, astmestik). Skalaarsetel suurustel on arvuline väärtus, kuid neil pole suunda. Skalaarsed suurused on näiteks näiteks aeg, pikkus, mass, rõhk, ruumala, energia, temperatuur. Mõnikord võib jääda ekslik mulje, et mõnel skalaaril on siiski suund olemas. Näiteks aeg voolab muudkui edasi ja soojendatava vee temperatuur muutub suurenemise suunas. Nende näidete puhul on tegemist vaid nähtustega, kus toimub suuruse arvulise väärtuse muutumine. Siin pole tegemist suunaga ruumis nagu üles või läänesuunas. Tehted skalaaridega Skalaarne suurus omab arvulist väärtust ja mõõtühikut. Selline ...
TEHTED RATSIONAALARVUDEGA Kadi Jõela 7.a klass Antsla 2013 LIITMINE - (-) = + N. - (-3) = +3 + (-) = - N. + (-2,3) = - 2,3 - (+) = - N. - (+ 78,6) = -78,6 + (+) = + N. + ( 234) = + 234 LIITMINE Kahe negatiivse arvu liitmine - liidan absoluutväärtused -Vastuse ette kirjutan miinusmärgi N. -1 + (-2) = -2 = -3 Kahe erimärgilise arvu liitmine - Lahutan suurema absoluutväärtusega arvust väiksema absoluutväärtusega arvu Vastandarvude summad - Ette kirjutan suurema absoluutväärtusega arvu märgi N. -4 + 5 = +1 KORRUTAMINE JA JAGAMINE Korrutan tegurite absoluutväärtused ja määran korrutise märgi (+) * (+) = (+) : (+) = + (-) * (-) = + (-) : (-) = + (+) * (-) = - (+) : (-) = - (-) * (+) = - (-) : (+) = - TÄNAN TÄHELEPANU EEST!
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuv...
LAUSEARVUTUS 4 sidumiskonstruktsiooni seovad igaüks kahte lauset ( binaarsed loogikatehted) ja 1 tehe viiest on rakendatav üksikule lausele ( unaarne Ü loogikatehe) T Lausearvutus on loogilise mõtlemise matemaatiline mudel. T Lausearvutuse lause võib olla iga verbaalne (ehk lingvistilises keeles verbaalne esitus formaalne tähistus väljendatud) väide, millele saame omistada tõeväärtuse — tõene või P eitus ( inversioon ) : __ vale. " mitte P "; " pole õige, et P " ...
VEKTOR Punktid A(x1; y1) ja B(x2; y2) Vektori koordinaadid AB = ( x2 - x1 ; y 2 - y1 ) Vektori pikkus AB = ( x2 -x1 ) 2 +( y2 - y1 ) 2 Vektorid a = ( a1; a2 ) ja b = ( b1;b2 ) Vektorite liitmine a + b = ( a1 + b1 ; a 2 + b2 ) Vektorite lahutamine a - b = ( a1 - b1 ; a 2 - b2 ) Vektori korrutamine arvuga k a = ( k a1; k a2 ) Vektori pikkus a = a12 + a22 Võrdsed vektorid a = b a1 = b1 ja a 2 = b2 Kollineaarsed vektorid a a b b = b 1 2 a 1 2 Ristuvad vektorid a b a b = 0 a b a1 b1 + a 2 b2 = 0 a b Vektorite vaheline nurk: cos = a b
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
