ARITMEETILINE JA GEOMEETRILINE JADA 1. Aritmeetilise jada kolmas liige on 2 ja kaheksas liige on 17. Mitu jada liiget tuleb võtta, et nende summa oleks 95? n =10 2. Aritmeetilise jada esimese ja kuuenda liikme vahe on 10, nelja esimese liikme summa on 48. Leia see jada. a1 = 15, d = -2 3. Alustanud liikumist, läbib rong esimese sekundiga 0,3 m ja igas järgnevas sekundis 0,4 m rohkem kui eelmises. Leida 0,6 minutiga läbitud tee. 262,8 m 4. Aritmeetilise jada neljas liige on 9 ja üheksas liige on -6. Mitme liikme summa on 54? n1 = 4; n2 = 9 5. Leia kõigi niisuguste naturaalarvude summa, mis 9-ga jagades annavad jäägiks 4 ja arvud ise on suuremad 200 –st ning väiksemad 350-st. ...
1. Geomeetrilise jada tegur on 3 ning viies liige 243. Leia selle jada kümnes liiga ja kümne liikme summa. 2. Paiguta arvude 7 ja 567 vahele kolm arvu nii, et nad koos esialgsetega moodustaksid geomeetrilise jada. 3. Geomeetrilise jada 1-se, 3-nda ja 5-nda liikme summa on 455 ning 2-se, 4-nda ja 6- nda liikme summa 1365. Leia selle jada kuus esimest liiget. 4. Geomeetrilise jada esimese ja neljanda liikme summa on 28 ning esimese ja neljanda liikme vahe -36. Leia jada kümne liikme summa. 5. Geomeetrilise jada 1. ja 3. liikme summa on 52. 2-se ja 4-nda liikme summa 260. Leia selle jada kümne liikme summa. 6. Leia jada 1;2;4... kaheteistkümne liikme summa. 7. Geomeetrilise jada 1., 2. ja 3. liikme summa on 168. 4-nda,5-nda ja 6-nda liikme summa aga 21. Leia selle jada 6 liiget. 8. Geomeetrilise jada esimese kolme liikme summa on 840 ning kolme järgneva liikme summa 105. Leia jada kuus esimest liiget. 9. Ge...
Jadad Geomeetriline jada Geomeetrilise jada üldliige avaldub kujul an = a1qn 1 , kus a1 on geomeetrilise jada esimene liige ja q jada tegur. Geomeetrilise jada esimese n liikme summa valem on kujul a ( q n - 1) Sn = 1 . q -1 Hääbuva geomeetrilise jada summa valem on a1 S= . 1 -q 1. Leia geomeetrilise jada 1, 3, 9, ... kuues liige. Lahendus: Jada tegur q = 3 : 1 = 3, esimene liige on 1. Üldliikme vale...
Jadad Aritmeetiline jada Aritmeetilise jada üldliikme valem on an = a1 + d(n – 1), kus d on jada vahe ja n jada liikmete arv. Aritmeetilise jada esimese n liikme summa valem on . a1 a n Sn n 2 Teades, et an = a1 + d(n – 1), võime eelnevale valemile anda ka teise kuju: . 2a 1 n 1 d Sn n 2 Viimane valem võimaldab arvutada esimese n liikme summat vaid jada esimese liikme ja jada vahe järgi. ...
a1 - esimene liige an - n-es liige ehk üldliige d aritmeetilise jada vahe n liikmete arv Sn - liikmete summa q - geomeetrilise jada tegur Aritmeetiline jada Aritmeetiline jada on jada, mille teisest liikmest alates iga liikme ja talle eelneva liikme vahe on jääv. Aritmeetiline jada on jada, mille iga liige alates teisest on võrdne talle eelneva liikme ja jääva arvu summaga. Arvu mida me juurde liidame nimetame me vaheks. d=0 konstantne jada Aritmeetiline jada on vaadeldav lineaarfunktsiooni väärtuste jadana, kui argumendile anda täisarvulisi väärtusi alates 1'st. y=x+2 xe{1;2;3;...} Aritmeetilise jada omadus: Iga liige alates teisest on võrdne oma naaberliigete aritmeetilise keskmisega. a2=(a1+a3)/2 Aritmeetilise jada üldliikme valem an=a1+(n-1)d Aritmeetilise jada esimese n-liikme summa: esimesed n-liiget ehk jada lõige: a1;a2;a3;...;an Sn- esimese n-liikme summa ehk jada lõike summa Sn=a1+an n 2 Sn=2a1+(n-1)d n ...
Kordamisülesanded 1. Geomeetrilise jada esimene liige on 96 ja kuues on -3. Leia jaga tegur. 2. Kas antud jada on geomeetriline jada? Kui on leia tegur, üldliikme valem ja kaks järgnevat liiget: a) 3;6;12;24;... b) 2;4;6;8;.... c) 8;-4;2;-1;... d) c 6 ; c 4 ; c 2 ; c 0 ;.. e) a; a 2 b; a 3b 2 ; a 4 b 3 ;... f) 1; 2 ;2;2 2 ;... 3. Geomeetrilise jada esimene liige on 3, jada tegur on 2. Leia jada kümnes liige ja kümne liikme summa. [ a10 = 1536; S10 = 3069] 4. Leia geomeetriline jada, mille kolmas liige on 12 ja kolme liikme summa on 21. a1 + a1q + 12 = 21 [3,6,12,.... ja 27,-18,12,...] Vihje: 2 12 Asenda teine esimesse. 1a q = 12 a1 = q2 5. Paiguta ...
JADAD: a1 = jada esimene liige an = jada n-is liige n = näitab mitmes liige arv jadas on < n Z > d = aritmeetilise jada vahe ; d = an an 1 ehk d = a2 a1 q = geomeetlise jada jagatis ; q = an / an 1 ehk a2 / a1 Sn = jada n liikme summa Aritmeetilise jada üldliikme valem: an = a1 + ( n 1)d 2a1 + ( n 1)d a 1 + an Aritmeetilise jada summa : Sn = n või Sn = n 2 2 Aritmeetlilise jada üks liige on oma naabrite arit. keskmine an =(an 1 + an + 1) 2 Geomeetrilise jada üldliikme valem: an = a1×qn 1 a1( qn 1 ) a1( 1 qn ) Geomeetrilise jada summa: Sn = n või Sn = n q1 ...
Mõisted suuliseks arvestuseks 1. Arvjada kui igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv an, siis saadakse arvjada (arvude järjend, mis võib koosneda kas lõplikust või lõpmatust hulgast arvudest; selle saab kui seada ritta ükskõik mis arve). 2. Aritmeetiline jada jada, milles teisest liikmest alates on iga liikme ja sellele eelneva liikme vahe konstante (jada, kus iga kahe järjestikuse liikme vahe on võrdne). *Jada nimetatakse hääbuvaks ehk nullile lähenevaks, kui jadas järjest kaugemale minnes selle jada liikmed erinevad arvust 0 kui tahes vähe. 3. Aritmeetilise jada üldliige avaldub kujul an = a1 + d (n 1), kus a 1 on aritmeetilise jada esimene liige, d on jada vahe ning n on liikmete arv jadas. 4. Aritmeetilise jada n esimese liikme summa avaldub kujul Sn = (a1 + an) / 2 · n, kus a1 on aritmeetilise jada esimene liige, an on jada üldliige ning n on liikmete arv jadas. 5...
Geomeetriline jada Geomeetriliseks jadaks nimetatakse arvujada, milles iga järgnev ja temale eelneva liikme jagatis on jääv, alates 2. liikmest. Jäävat jagatist nimetatakse jadateguriks ja tähistatakse q-ga |q|<1 Hääbuv jada Geomeetrilise jada üldliikme tuletamine a2=a1q a3=a2q a4=a3q a2*a3*a4*...*an=a1q*a2q*a3q*...*an-1q an=a1*qn-1 Geomeetrilise jada n esimese liikme summa valem Sn=a1+a2+a3+...+an q*Sn=a1q+a1q2+a1q3+...+a1qn - Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1qn-1 qSn-Sn=a1qn-a1 (q-1)Sn=a1(qn-1) Hääbuva geomeetrilise jada summa valemi tuletamine Pedak
JADAD 11. klass Aili Hollak Arvuti koolis lõputöö Koolitaja E. Tarro, 5. kursus JADAD Jada teatud reegli järgi saadud arvude hulk, kus igale naturaalarvule n (alates 1-st) seatakse vastavusse üks kindel arv n. Jada liikmed - 1, 2, ..., n, ... Jada üldliige - n Jada üldliikme valem - n= f(n) Näiteid jadadest Ruudu 1 2 3 4 5 6 nr. Pindala 1 4 9 16 25 36 Nii võib jätkata ruutude joonistamist ja leida ka igal sammul vastava ruudu pindala. Näiteks 11. ruudu pindala on 121, 30. ruudu pindala 900, n-nda ruudu pindala on n² JADADE LIIGITUS Jadad Tõkestatud Tõkestamata Hääbuvad Muud Lõpmata suured Muud Tõkestamatult kasvavad Muud Tõkestamatult kah...
1. Antud on funktsioonid f(x) = logx ja g(x) = -1 1.1. Skitseeri ühes ja samas teljestikus nende funktsioonide graafikud; 1.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 1.3. Leia milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused väiksemad funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graaf...
Matemaatika Riiklik õppekava: https://www.riigiteataja.ee/aktilisa/1140/1201/1002/VV2_lisa3.pdf# Gümnaasium matemaatika 1.-5 kursus Õppeaine: Matemaatika (lai kursus) Klass: 10. klass 1. Õppekirjandus: l.Lepmann, T.Lepmann, K.Velsker Matemaatika 10.klassile 2. Õppeaine ajaline maht: 5 kursust (175 tundi) 3. Õppeaine eesmärgid:õpilane 1) saab aru matemaatika keeles esitatud teabest; 2) tõlgendab erinevaid matemaatilise informatsiooni esituse viise; 3) kasutab matemaatikat igapäevaelus esinevates olukordades; 4) väärtustab matemaatikat, tunneb rõõmu matemaatikaga tegelemisest; 5) arendab oma intuitsiooni, arutleb loogiliselt ja loovalt; 6) kasutab matemaatilises tegevuses erinevaid teabeallikaid; 7) kasutab arvutiprogramme matemaatika õppimisel. Õppeaine sisu: Käsitlevad teemad Käsitlevad Õpitul...
HARILIK ITERATSIOONIMEETOD 2014 SISUKORD 1.Mis on iteratsioonimeetod?......................................................................................................3 2.Harilik iteratsioonimeetod........................................................................................................4 3.Kasutatud kirjandus..................................................................................................................7 1. Mis on iteratsioonimeetod? Iteratsioonimeetodiks nimetatakse teatud võtet võrrandite, võrrandisüsteemide, ekstreemumülesannete jms. Ligikaudseks lahendamiseks. Enamus võrrandi f(x) = 0 ligikaudsetest lahendamismeetoditest on nn iteratsioonimeetodid. Põhimõtteliselt võib iteratsioonimeetodi jagada kaheks osaks: 1) leitakse alglähend x0, milleks on mingi otsitavale lahendile küllaltlähedal paiknev arv (mitmesammulise meetodi puhul läheb vaja mitut alglähendit). 2) T...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Nimi perenimi HARILIK ITERATSIOONIMEETOD REFERAAT Juhendaja: nimi Tallinn 2016 Sisukord Mis on iteratsioonimeetod?..............................................................................................................3 Harilik iteratsioonimeetod...............................................................................................................4 Meetodi realisatsioon.......................................................................................................................8 Näide 1)........................................................................................................................................8 Näide 2)........................................................................................................................................9 Allikad................................................
Matemaatika 11. klassi praktikumi töö 1. Kirjalik arvutamine m Tehted astmetega (a:b)n = an : bn Tehted juurtega a n n am (ab)n = an * bn a b a b an am = an+m n m a n m a a a an : am = an-m b b n m n*m ...
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt k...
Contents Contents.................................................................................................................................. 1 1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Geomeetrilise rea osasumma ja summa valemite tuletamine....................................... 2 2. Integraaltunnus. Näidata, mis tingimustel rida ja vastav päratu ingegraal koonduvad samaaegselt. Muutujavahetus päratus integraalis ()............................................................... 3 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada........................................ 3 4. D'Alemberti ja Cauchy tunnused. Üks neist tuletada........................................................... 4 6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus..................................................................... 5 5. Arvridade absoluutne ja tingimisi koonduvus. Absoluutselt k...
1. Arvud, mis väljendavad risttahuka mõõtmeid moodustavad geomeetrilise jada. Risttahuka põhja pindala on 108 m² ja täispindala 888 m². Leia risttahuka mõõtmed. 2. Urnis on 5 musta, 7 kollast ja 4 punast palli. Leia tõenäosus, et juhuslikult võetud kolme palli hulgas on. 1) vähemalt 2 kollast palli; 2) Kõik erinevat värvi pallid; 3) kõik ühtevärvi pallid. 3. Leia kõik reaalarvude paarid (x;y), mis rahuldavad võrrandit 2 x +1 = 4 y 2 +1 ja võrratust 2 x 2 y . 4. Kahe positiivse arvu vahe moodustab 1/19 nende kuupide vahest, nend4e korrutis on aga ½ võrra väiksem nende ruutude poolsummast. Leia need arvud. 5. Lahenda võrrand 3sin 9 + 3 = 3 vahemikus (-2; 2). 6. Võrdkülgsesse kolmnurka küljega a on kujundatud teine võrdkülgne kolmnurk, mille tipud asuvad esimese kolmnurga külgedel jaotades need suhtes 1:2. Leia väiksema kolmnurga pindala. 7. Koonusekujulise veinik...
Tehted ratsionaalarvudega © T. Lepikult, 2010 Ratsionaalarvud Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ühiselt ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarve tähistatakse sümboliga Q. Ratsionaalarve võib ka defineerida kahe täisarvu jagatisena (sealjuures ei või jagaja muidugi null olla). Näited : 2 6 0 Q; 12 Q; - 1 Q; - Q; 4 Q. 11 13 Aga 2 Q, Q, kuna need arvud ei ole esitatavad kahe täisarvu jagatisena. Ratsionaalarvu esitamine kümnendmurruna Iga ratsionaalarv esitub kas lõpliku või (lõpmatu) perioodilise kümnendmurruna Näiteks: 2 = 2, (0); 1 - = -0,25; 4 2 - = -0,181818... = -0, (18). 11 Kümnendmurrud Kümnendmurd on kümnendsüsteemis koma abil kir...
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b n p Liitprotsendiline kasvamine (kahanemine): L = A 1 + , kus L on 100 lõppväärtus, A - algväärtus, p - kasvamise protsent, n - kasvutsüklite arv. Logaritmide omadused: log a c = b a b = c ...
1. Arvrea mõiste. Arvrea osasumma ja koonduvus. Näiteid koonduvate ja hajuvate arvridade kohta. Avaldist , kus on reaalarvud, nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese liikme summat nimetatakse selle rea -ndaks osasummaks, st. Eeltoodud rida nimetatakse koonduvaks, kui selle rea osasummade jada { } on koonduv, st , kusjuures suurust S nimetatakse selle rea summaks. Kui ei eksisteeri lõplikku piirväärtust siis nimetatakse seda rida hajuvaks. Näide 1. Uurime rea koonduvust. Et siis , seega see rida on hajuv. Näide 2. Uurime rea koonduvust. Tegu on positiivse arvreaga, sest Võrdleme seda rida geomeetrilise reaga , see geomeetriline rida on koonduv, sest ...
Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...
-1- - 1.Leia funktsiooni määramispiirkond. 3 x 3 x y y b) y 17 15 x 2 x log( 1 x ) 2 a) 4x 8 c) 2x 2 3 9 x y d) y = log( x2 + x -20 ) - 6x e) log 2 ( x 4) f) ...
Kordamisülesanded 11 klass 1. Kombinatoorika ja tõenäosus a) Ühes klassis õpitakse 14 õppeainet. Mitmel erineval viisil saan nendest koostada ühe päeva tunniplaani, kui selles peab olema 7 erinevat õppeainet? Vastus: 17297280 b) Martinil on taskus viis viiekroonist ja neli kümnekroonist rahatähte. Kui suur on tõenäosus, et kahe kupüüri juhuslikul võtmisel on mõlemad viiekroonised? Vastus: 20/72 c) Tõenäosus leida pliiats kirjutuslaua esimesest sahtlist on 0,5, teisest sahtlist 0,7 ja kolmandast 0,4. Kui suur on tõenäosus , et pliiats on olemas a) täpselt ühes sahtlis b) vähemalt ühes sahtlis c) mitte üheski saht...
Valemid, teoreemid, seosed, tunnused, tingimused MATEMAATIKA EKSAMIL XI KLASSIS 1) a2-b2 = (a+b)(a-b) 2) a3 + b3=(a+b)(a2-ab+b2) 3) a3 - b3=(a-b)(a2+ab+b2) 4) (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2+b3 5) (a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3 −b ± √ b2−4 ac 2 6) a) lahenda ax + bx+c =0 2a b) tegurda : ax2 + bx+c= a( x− x1 )( x−x 2) c) tegurda ax3 + bx2+ax+b= x2(ax+b)+ax+b = (ax+b)(x2+1) 7) lim an bn lim an lim bn n n n 8) lim an bn lim an lim bn n n n 9) lim anbn lim an lim bn n n n an 10) lim lim an lim bn n bn n n 11) Korrutise tuletise sõnastus ja valem (u * v ) ´ = Korrutise tuletis võrdub esimese teguri tuletise ja teise teguri korrutisega, millele ...
Valguse ja aine vastastikmõju Lainepikkus Lainepikkus- füüsikas kaugus kahe teineteisele läima samas faasis võnkuva punkti vahel. Võrdne laine levimiskiiruse ja laine sageduse jagatisega. Tähis: lambda (λ ) Heli sagedus Helid võivad olla nii madalad kui ka kõrged. Heli sagedus- näitab, mitu täisvõnget sooritab õhuosake ühe sekundi jooksul. Tähis: f Mõõdetakse hertsides. Helikiirus on võrdne sageduse ja lainepikkuse korrutisega. Kontrollküsimused: 1.Milline tingimus peab olema täidetud, et valgust võiks vaadelda kiirtena? Vastus: tõkked on palju suuremad kui lainepikkus. 2.Missugune nendest põhimõtetest või seadustest ei ole sobilik geomeetrilise optika lähenduses? Vastus: valguse dualism Valguse peegeldumine Kujutis tekib tasapeegli taha. Näiv kujutis tekib peegli taha samale ...
1 1 korral ak≠0(k>n) leidub lõplik või lõpmatu piirväärtus lim 𝑘 , siis selle rea koonduvusraadius avaldub kujul 𝑅 = lim 𝑘 . 14. Fourier’ teisenduse omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi. ...
1. Tõenäosuse mõiste - Sündmuse (klassikaliseks) tõenäosuseks nimetame temas sisalduvate (ehk soodsate) elementaarsündmuste arvu ja kõigi elementaarsündmuste arvu suhet. kindel sündmus, võimatu, juhuslik. Vastandsündmus, selle tõenäosus. - Sündmuse A vastandsündmuseks nimetame sündmust, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A ei toimu. 2. Sündmuste summa - Sündmuste A ja B summa on sündmus, mis toimub kui toimub vähemalt üks sündmustest A või B. korrutis - Sündmuste A ja B korrutis on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui toimuvad sündmused A ja B. (samaaegselt) vahe - Sündmuste A ja B vahe on sündmus, mis toimub parajasti siis, kui sündmus A toimub aga sündmus B ei toimu. AB 3. Sõltumatud sündmused. - Sündmused on sõltumatud kui: P(A|B)=P(A), ehk sündmuse A tõenäosus ei sõltu sündmuse B toimumisest või mittetoimumisest: Välistavad sündmused - Sü...
Kordamine III(sirge, ringjoon, parabool, vektor) 1. On antud kolmnurk tippudega A(1;2), B(4;3) ja C(2;5). Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt ...
KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ...
[TIPPIGE ETTEVÕTTE NIMI] Archimedes Antiikaja suurim matemaatik Sisukord Sisukord.........................................................................................................................2 2 Sissejuhatus Archimedes (kreeka keeles: ; 287 - 212 eKr) Sürakuusast oli kreeka matemaatik, füüsik, insener, leiutaja ja astronoom. Kuigi tema elust pole palju teada, ta peetakse teda üheks juhtivatest antiikaja teadlastest. Tema edusammude hulka füüsikas kuuluvad hüdrostaatika ja staatika alused ja selgitus kangi printsiibist. Tema arvele kantakse uuenduslike seadmete kavandamine, sealhulgas nõguspeegel ja kruvipump, mis kannab tema nime. Kaasaegsed katsed näitavad, et Archimedese mõeldud masinad on võimelised ründavaid laevu veest välja tõstma ja panna neid põlema järjestatud peegl...
1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega: Maatriksi järk tähistab maatriksi mõõtmeid: A on m*n järku maatriks. Liigid: · Ruutmaatriks (m=n) · Diagonaalmaatriks ruutmaatriks, mille peadiagonaalis arvud, muud elemendid 0-d. · Ühikmaatriks diagonaalmaatriksi erijuht. Peadiagonaali elemendid 1-d. Täh E. · Nullmaatriks kõik nullid. Täh . 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). · Korrutamine arvuga: korrutades maatriksit reaalarvuga, muutuvad kõik elemendid, selle arvu korra suuremaks. · Maatriksite liitmine: mõõtmed peavad olema samad. Ühemaatriksi elemendid liidetakse teise maatriksi vastavate elementidega: A = (a ij) ja B = (bij) A+B =(cij) kus cij =...
Geomeetriline optika Geomeetrilise optika põhiseadused Geomeetriline optika on optika osa, kus valguslaine asemel kasutatakse valguskiire mõistet. Valguskiireks nimetatakse joont ruumis, mis näitab valgusenergia levimise suunda. Geomeetrilist optikat nimetatakse ka kiirteoptikaks. Geomeetrilise optika põhiseadused on: Valguse sirgjoonelise levimise seadus: ühtlases keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt. Kiirte sõltumatuse seadus: kiired ei mõjuta lõikumisel üksteise liikumist. Valguse peegeldumise seadus: langemisnurk ja peegeldumisnurk on võrdsed. Valguse murdumise seadus: langemisnurga ja murdumisnurga siinuste suhe on jääv suurus. Kiirte pööratavuse printsiip: kiir läbib süsteemi päri- ja vastassuunas ühte teed mööda. Ühtlases keskkonnas levib valgus sirgjooneliselt. Kui aga valguse teele jääb ette mingi keha või läheb valgus üle teise keskkonda, siis valguse levimissuund muutub. ...
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 1. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 8 - x 12 x +2 1. (5p) Lihtsustage avaldist ning näidake, et selle väärtus ei sõltu x väärtusest. 6 2- x 18 x 21-x Lahendus: Valemid, mida lihtsustamisel kasutati: 1 a n ; ( ab ) = a n bn ; ( a n ) = a n m n m a - n = n ; a m+ n = a m a Vastus: Avaldise väärtus ei sõltu x väärtusest, lihtsustatud avaldises x puudub. Vastus on 2. 2. (10p) Ühistu maast 80% on põldude all ja 51 ha on ...
2007. aasta matemaatika riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti) Ülesannete tekstid 1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2 x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . ...
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline eesmärk + Jagamine samadel tingimustel 3.0 Eesti litsents (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ee/). Autoriõigus: Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar ja OÜ Hea Lugu, 2014 Viies, parandatud trükk Toimetaja: Hele Kiisel Illustratsioonid ja graafikud: Elis Saar Korrektor: Maris Makko Kujundaja: Janek Saareoja ISBN 978-9949-489-95-4 (trükis) ISBN 978-9949-489-96-1 (epub) Trükitud trükikojas Print Best 4 Sisukord osa 0 – SISSEJUHATUS . .................... 17 OSA 2 – arvud ..................................... 75 matemaatika meie ümber ................... 20 ...
Eesti Maaülikool Põllumajandus- ja keskkonnainstituut Maastiku kujundamine Referaat Juhendaja: dots. Mari Nõmmela Tartu 2012 Sisukord 2 Sissejuhatus Referaat ,,Maastiku kujundamine" põhineb Sulev Nurme raamatul ,,Haljasalade kujundamine" (Eesti Põllumajandusülikool. Keskkonnakaitse Instituut. Tartu: 2003). Referaadis käsitletakse maastikukujunduses esinevaid kompositsioone ja rajatisi ja väikevorme, nendega kaasnevaid probleeme ja lahendusi. 3 Kompositsioon maastikukujunduses Ruumi mõistet ei ole võimalik üheselt defineerida. Mõiste ruum jaotatakse kaheks- abstraktseks ja tajutavaks. Abstraktne ruum on matemaatiliselt eksisteeriv ning aitab kirjeldada ja mõista füüsilist ruumi. Tajutav ruum sõltub inimese varasematest kogemustest ning kultuuriruumist kus ta hetkel elab. Ruumi neljas mõõde on aeg. Ruume jaotatakse...
LTMS.00.022 ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS Loengukursus Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna üliõpilastele 2019./2020. õppeaasta Toivo Leiger Joonised: Ksenia Niglas Pisitäiendused 2016–20: Märt Põldvere, Natalia Saealle, Indrek Zolk, Urve Kangro 2 Sisukord 1 Reaalarvud 6 1.1 Järjestatud korpused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Korpuse aksioomid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Järjestatud korpus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Täielik järjestatud ...
Diskreetne matemaatika II Suulise eksami konspekt IABB 2011 [1]. Hulgad. Alam- ja ülemhulgad. Tehted hulkadega. [2]. Hulga võimsus. Kontiinumhüpotees. [3]. Järjendid. Permutatsioonid. Kombinatsioonid. [4]. Binoomi valem. Pascali kolmnurk. [5]. Liitmis- ja korrutamisreegel kombinatoorikas. [6]. Kordustega permutatsioonid. Multinoomkordajad. [7]. Elimineerimismeetod (juurde- ja mahaarvamise valem). [8]. Korratused ja subfaktoriaalid. [9]. Dirichlet` printsiip. [10]. Arvujadade genereerivad funktsioonid. Jadade ja genereerivate funktsioonide teisendamine. [11]. n objekti jaotamine k gruppi. [12]. Rekurrentsed võrrandid. Rekurrentsi lahendamine ad hoc meetodil ja iteratsioonimeetodil. [13]. Tasandi tükeldamine n sirgega ja n nurgaga. [14]. Lineaarsed rekurrentsed võrrandid. [15]. Rekurrentsete võrrandite lahendamine genereerivate funktsioonide ...
1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) ...
Ester Oras (2007) Retsensioon Maie Remmeli raamatule ,,Mõistatuslik Muinas-Eesti" Maie Remmeli raamat ,,Mõistatuslik Muinas-Eesti" ilmus 2007. aastal välja antuna kirjastuse Argo poolt. Raamatu kogumahuks on 222 lehekülge, millest 8 lehekülge moodustab kasutatud kirjanduse loetelu (kokku 128 nimetust) ning teine 8 lehekülge hõlmab mitmete tabelitega varustatud lisade osa. Raamatu sisuline osa koosneb eessõnast, viiest peatükist ning kokkuvõttest, sisaldades mitmeid illustratiivseid jooniseid ja kaarte. Käesolev arvustus on kirjutatud püüdega analüüsida M. Remmeli raamatu alusel probleemistikku, mille lühidalt võiks kokku võtta küsimustega: mis on ja missugune peaks olema (arheoloogia)teadus ning missugune peaks sellest lähtuvalt olema teaduslik kirjatöö? Püstitatud probleemidele vastamiseks on toetutud Alan F. Chalmersi 1998. aastal eesti keeles ilmunud raa...
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. TT ja MatStat kui üksteise pöördteadused. Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Juhuslikkusel põhinev lähenemine nõuab erilisi meetodeid, mida võimaldab tõenäosusteooria. Matemaatiline statistika on matemaatika osa, mis uurib statistiliste andmete kogumise, süstematiseerimise, töötlemise ja statistiliste järelduste tegemise meetodeid. Matemaatilise statistika eesmärgiks on statistiliste seaduspärasuste avastamine ja kirjeldamine. 2. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Sündmuste algebra koos tema määratud tõenäosusmõõduga moodustavad tõenäosusruumi. Mõnikord on kasu...
Gümnaasiumi füüsika laiendatud ainekava 10. KLASS MEHAANIKA Sissejuhatus gümnaasiumi füüsikasse Inimese elukeskkond sotsiaalne ja looduslik. Füüsika koht teiste loodusteaduste hulgas. Loodusteaduslik meetod. Loodusteaduslik ja täppisteaduslik käsitlus. Füüsikalised objektid ja füüsikalised suurused. Mõõtmine. Mõõtühikute areng. SI mõõtühikute süsteem. Mõõtemääramatus. Juhuslik jaotus, standardhälve. Mudelid füüsikas. Mudelite kasutamine reaalsuses. Mehaanika kui füüsikaliste mudelite alus. (koos sissejuhatusega 75h) Üldmõisted: keha, punktmass, liikumine. Kehade vastastikmõju. Vastastikmõju liigid. Aine ja väli. Ruumi mõõtmelisus. Taustsüsteem. Liikumisvormid füüsikas: kulgliikumine, pöördliikumine, võnkumine, laine. Mehaanika põhiülesanne. Liikumist kirjeldavad suurused: teepikkus, nihe, kiirus, aeg. Vektor ja vektoriaalsed suurused. Vektorite liitmine. Vektori lahutamine komponentideks. Liikumise suhtelisus. Kulgliikumise lihtsai...
FÜÜSIKA EKSAMI KONSPEKT 1. Elektrivälja olemus ja omadused. Elektriväli ümbritseb laetud kehi. Elektriväli on vektorväli, elektrivälja tugevus on vektoriaalne suurus. Elektrivälja tugevust määratakse positiivse proovilaenguga. 2. Elementaarlaeng. Elektromagnetiline vastasmõju on seotud elektrilaenguga, mida on kahte liiki (+ ja -), mille algebraline summa elektriliselt isoleeritud süsteemis ei muutu ja mis saab olla vaid elementaarlaengu täisarvkordne. 1C (1 kulon) on laeng, mis läbib juhi ristlõiget sekundis, kui voolutugevus on 1 A (amper). 3. Laengute jäävuse seadus. Elektriliselt isoleeritud süsteemis on igasuguse kehadevahelise vastasmõju korral kõigi elektrilaengute algebraline summa jääv. Laengud tekkivad ja kaovad alati paarikaupa s.t. samasuured positiivne ja negatiivne laeng korraga. 4. Coulomb´i seadus. Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mill...
Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium Test nr. 1. a 0,5 - 16b 0, 5 1. Leia avaldise - 4b 0, 25 , kui a = 16. a 0, 25 - 4b 0, 25 1) 6 2) -2 3) 4 4) 2 2. Leia antud arvudest suurim ( 2) ( 2) 3, 2 3 1 4, 7 1) 2) 3) 4) 3 4 5 2 3 1- log 3 6 - log 4 0 ,125 3. Arvuta avaldise 27 -4 väärtus. 1) 0 2) 7,875 3) 7,875 4) 3,8...
Teooria eksami probleemid I osa Tõenäosusteooria 1. Defineerige sündmuste algebra. Tooge vähemalt 2 sündmuste algebra mittetriviaalset näidet Klassi F0 nimetatakse sündmuste algebraks, kui: 1) ∅,Ω ∈ F0 (Ω < ∞; Ω – elementaarsündmuste ruum ehk hulk, mille elementideks on juhusliku katse kõikvõimalikud tulemused) 2) A ∈ F0 => Ā ∈ F0 3) A,B ∈ F0 => A + B ∈ F0 Nt: Ω = {1,2,3,4,5,6} a. F = {∅,Ω} b. A = {2,3,5}; F = {∅,Ω,A,Ā} c. F = {∅,Ω,{2,4,5},{5},{1,3,6},{1,2,3,4,6},{1,3,5,6}, {2,4}} 2. Tõenäosuse aksiomaatiline definitsioon. Tõestada aksioomide põhjal, et tühja hulga tõenäosus on null. Tuletada liitmislause 2 sündmuse (liidetava) puhul Kujutist P: F → [0;1] nimetatakse tõenäosuseks, kui: 1) P(Ω) = 1 2) AB = ∅ => P(A+B) ...
I kursus. Mehaanika Mehhaaniline liikumine Ühtlane sirgjooneline liikumine on liikumine, mille puhul keha sooritab mistahes võrdsetes ajvahemikes võrdsed nihked. s l s = vt x = x0 + vt v= vk = t t Ühtlaselt muutuv liikumine on liikumine, mille puhul keha kiirus mistahes võrdsetes ajavahemikes muutub võrdse suuruse võrra. at 2 at 2 s = v0t ± x = x0 + v0t + v 2 - v02 = ±2as 2 2 Taustsüsteem on kella ja kordinaatsüsteemiga varustatud keha, mille suhtes liikumist vaadeldakse. Teepikkus on määratud keha poolt läbitud trajektoori pikkusega. Nihe on suunatud sirglõik, mis ühendab keha algasukoha lõppasukohaga. Hetkkiirus on kiirus, mida keha omab trajektoori antud punktis, antud ajahetkel ja m...
1. Newtoni 2. seaduse kohaselt kiirendus on: võrdeline jõuga ja pöördvõrdeline massiga. 2. auto paiskub teelt välja kiirusega 30 m/s vastu puud ja peatub o,1 sekundi jooksul. Kui suur oli kiirendus, mille tulemusel auto puuga kokku põrkamisel seisma jäi? :kiirendus oli 300 m/s2 3. Kui auto saavutab kiiruse 60 km/h 10 sekundiga, siis auto kiirendus on:6 km/h/s 4. Galopeeriv hobune läbis 10 km 30 min. tema keskmine kiirus oli: 20 km/h 5. Kui autoga sõites saab bensiin otsa, siis mootor seiskub, kuid outo liigub veel tükk aega edasi. Milline mõiste seletab sedanähtust kõige paremini?: inerts 6. Kiirusega 60 km/h liikuva veoauto koormast kukub pakk. Kui õhutakistus jätta arvestamata, siis enn maapinnale jõudmist on paki horisontaalsuunaline kiirus ligikaudu: 60 km/h 7. Kui kehale mõjuvate jõudude resultant on null, siis keha:säilitab oma kiiruse 8. Kalle tõukab magavat Priitu. Priit: tõukab Kallet sama tugevasti ilma, et ta ärk...
ELEKTROSTAATIKA Elektrilaeng- osakese elektriline vastastikmõju seda ümbritsevate kehadega sõltub selle elektrilaengust. Samanimelite laengutega kehad tõukuvad, erinimelised tõmbuvad. Sama hulga ni neg kui ka pos korral on kehad neutraalselt elektriseeritud, vastasel juhul keha omab laengut ja on kas positiivselt või negatiivselt elektriseeritud. Elektrijuhid- materjalid, millede küllaldane arv laetud osakesi võivad vabalt ümber paikneda, isolaatorid ehk mittejuhtide laetud osakesed ei oma vabaltliikumist. Colomb'i seadus- kirjeldab elektrostaatilisi jõude kahe väikese liikumata laengu q1 ja q1 vahel, mis asuvad üksteisest kaugusel r 1 q1 q 2 F= 4 0 r 2 0 = 8,85 *10 -12 C 2 / N * m 2 vaakumi dielektriline läbitavus 1 / 4 0 = k = 8,99 * 10 9 N * m 2 / C 2 Laetud elementaarosakeste korral on nendevaheline gravitatsiooniline vastastikmõju võrreldes elektrilise vastastikmõjuga tühine ja seda pole vaja üldjuhul...
Matemaatiline anal¨ uu¨s I Jaan Janno ii Sisukord 1 Funktsioonid ja nendega seotud m~ oisted 1 1.1 Reaalarvud ja Arvtelg. Absoluutv¨a¨artuse m~oiste. Reaalarvudest koosnevad hulgad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 J¨a¨ avad ja muutuvad suurused. Funktsiooni m~oiste ja esitusviisid. 3 1.3 Funktsioonide liigid. Konstantne funktsioon. Astme-, eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 P¨o¨ ordfunktsiooni m~oiste. Logaritmfunktsioon. Arkusfunktsioonid. 8 1.5 Tehted funktsioonidega. Elementaarfunktsioon. Pol¨ unoom ja ratsionaalfunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetrilisel kujul an- tud jooned ja funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 H...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
