Astmed ja juured Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9; 10 4 10 10 10 10 10000 3 1 1 1 1 1 (2) (2) (2) (2) 8 3 4 4 4 4 64 (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625 1 kilobait = 2 baiti 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 baiti 1024 baiti; 10 Astendajad 0 ja 1 Astme an leidmist nimetatakse...
Astendamine Naturaalarvuline astendaja 2³=222=8 00= - a0=1, kui a0 , st iga arv astmes 0 on võrdne ühega (kui see arv ei ole 0). Näide:11²=121 , 12²=144,1 3²=169 1³=1 2³=8 3³=27 4³=64 5³=125 6³=216 7³=343 10³=1000 20=1 21=2 22=24 23=8 24=16 25=32 26=64 27=128 28=256 29=512 210=1024 Tehted astmetega 1) am an = a m + n Näiteks: 2² 2³ = 22+3 = 25 = 32 Võrdsete alustega astmete korrutamisel võime astendajad liita ning saadud tulemusega astendada antud alust. 2) am : an = a m-n Näiteks: 36 : 34 = 36-4 = 3² = 9 Võrdsete alustega astmete jagamisel võime jagatava astendajast lahutada jagatava astendaja ning saadud tulemusega astendada alust. 3) (a b)n = an bn Näiteks: (2 4)² = 2² 4...
Ül1.1 Arvuta (võimalikult lihtsalt) 7^162 mod 205 205=5*41 Phi(205)=4*40=160 //Euler 7^162=7*(5*41+2)=7*(5*41)7^2=7^2=49 //Fermat Ül1.2 Arvuta (võimalikult lihtsalt) 7^398 mod 451. 451=11*41 Phi(451)=10*40=400 //Euler 7^(4002)=7^(2)=49^1 mod 451 //Fermat 49 451 a b 49 10 a b9a 9 10 37 a4 b b9a 9 1 37 a4 b 5 b46 a //Eukleides // d =1/49 mod 451= 45146 mod 451 = 405 mod 451 Ül2.1 RSA krüptosüsteemis kasutatakse algarvudena p = 101 ja q = 37. Avalik astendaja e = 17. Leia salajane astendaja d. Kas samade algarvude korral oleks e = 5 sobilik avalik astendaja? Põhjenda! Phi(101 * 37) = 3600 = n 17 3600 a b ...
Matemaatika abivalemid Tehete p~ ohiomadused Kommutatiivsus (vahetuvus) Assotsiatiivsus (¨ uhenduvus) Distributiivsus (jaotuvus) a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a(b + c) = ab + ac ab = ba a(bc) = (ab)c a(b - c) = ab - ac Sulgude avamine a + (b + c) = a + b + c a - (b + c) = a - b - c a + (b - c) = a + b - c a - (b - c) = a - b + c Tehted harilike murdudega a c a±c a c ac a c a d ad ± = · = : = · = b b b ...
1.ptk Üksliikmed 8.klass Õpitulemused Näited 1.Üksliige - korrutis, mis koosneb muutujatest ja on normaalkujulised; ja arvudest ei ole normaalkujulised 2.Üksliikme kordaja - esimesel kohal olev kordaja on 10 arvuline tegur normaalkujulises üksliikmes 3.Sarnased üksliikmed - üksliikmed, mis ja on sarnased, sest täheline osa on erinevad ainult kordaja poolest või ei erine üldse samasugune 4.Üksliikme teisendamine normaalkujule - kirjutame arvuliste tegurite korrutise esimesele kohale ning asendame samade muutujate korrutised astmetega astmealuste tähestikulises järjekorras 5.Üksliikmete koondamine - tuleb teha vastav Õ ül.161 tehe vaid üksliikmete kordajatega, täh...
Astmed ja juured © T. Lepikult, 2010 Astme mõiste. Definitsioon Ühest suurema naturaalarvu n korral nimetatakse astmeks an korrutist, milles on n võrdset tegurit a, s.t. a n a a ... a. n tegurit Näited 32 3 3 9. 104 10 10 10 10 10000. 3 1 1 1 1 1 . 4 4 4 4 64 1 kilobait = 210 baiti = 2·2·2·2·2·2·2·2·2·2 baiti 1024 baiti. = algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Negatiivse arvu astendamine Näited (2)3 (2) (2) (2) 8. (0,5) 4 (0,5) (0,5) (0,5) (0,5) 0,0625. Järeldus viimastest näidetest: Kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, on tulemus positiivne, kui paari...
Ruutjuur number on number, et kui ruuduline (korrutatakse ise), on võrdne antud number. Näiteks ruutjuur 16, tähistatakse 161 / 2 või on 4, sest 42 = 4 × 4 = 16. Ruutjuur 121, tähistatakse, on 11, sest 112 = 121. = 5 / 3, sest (5 / 3) 2 = 25 / 9. = 9, sest 92 = 81. Võtta ruutjuure osa võtta ruutjuur lugeja ja ruutjuure nimetaja. Ruutjuur arv on alati positiivne. Kõik täiuslik ruut on ruut juured, mis on täisarve. Kõik fraktsioonid, mis on täiuslik ruut, kui lugeja ja nimetaja on kandilised juured, mis on ratsionaalne numbrid. Näiteks, = 9 / 7. Kõik muud positiivne arv on ruute, mis ei ole lepingu lõppemise, mitte korrates kümnendkohtade või irratsionaalne numbrid. Näiteks = 1.41421356 ... ja = 2.19503572 .... Square Roots negatiivse Numbrid Kuna positiivne arv korrutatakse ise (positiivne arv) on alati positiivne ja negatiivne arv korrutada ise (negatiivne arv) on alati positiivne, number ruuduline on alati positiivne. Seetõttu ei saa...
ARVUTITE ARITMEETIKA IAY0140 POSITSIOONILISED ARVUSÜSTEEMID 1. Milline on tiutum mittepositsiooniline arvusüsteem? – Rooma numbrid – Morsekood Positsiooniline arvusüsteem on arvusüsteem, mis esitab arve järjestikku kirjutatud numbritena, kusjuures numbrile omistatav väärtus sõltub tema asukohast ehk numbrikohast selles järjestuses. Positsioonilise arvusüsteemi aluseks nimetatakse naturaalarvu k, mis tähistab, mitut numbrit (null kaasa arvatud) arvusüsteem kasutab. Näiteks kümnendsüsteemi alus on kümme: see kasutab numbreid 0 kuni 9. Igas arvusüsteemis (va juhul kui alus on 1) on aluse tähis 10, sest see on esimene arv, mida ei saa tähistada k numbri abil. 2. Mis on arvusüsteemi alus? Mida ta määrab? Arvusüsteemi aluse mõiste – numbri kirjapanekuks kasutatavate märkide arv. Arvusüsteemi alus on täisarvul...
y = f (x) y' = f ' (x) c 0 Kontstandi tuletis on null. x 1 Argumendi tuletis on üks. x² 2x x³ 3x ² x nx -¹ Astmete tuletis on astendaja korrutatud ühe võrra väiksema astendaja astmega. f (x) + g (x) f '(x) + g '(x) Summa tuletis on liidetavate tuletiste summa. f (x) · g (x) f '(x) · g (x) + g '(x) · f (x) Korrutise tuletis on esimese teguri tuletis korruatatud teise teguriga liita teise teguri tuletis korrutatud esimese teguriga. f (x) f '(x) · g (x) - g '(x) · f (x) Murru tuletis on murd mille nimetajaks on g (x) [ g (x) ] ² eelmise nimetaja ruut, lugejas on lugeja tuletis ...
MATEMAATIKA Ratsionaalarvudega tehted. Harilikke murde, nende vastandarve ja arvu 0 nimetatakse ratsionaalarvudeks. Ratsionaalarvu tähistatakse sümboliga Q. Absoluutväärtuselt võrdseid, kuid erineva märgiga arve nimetatakse vastandarvudeks. Negatiivsete arvude liitmisel liidame nende absoluutväärtused ja tulemuse ette kirjutame miinusmärgi. Nt: -a-b= -(a+b) ehk -3-5= -(3+5) = -8 Positiivse ratsionaalarvu lahutamise võib asendada selle vastandarvu liitmisega. Nt: a-b= a+(-b) ehk 5-6 = 5+(-6) = -1 Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu, st positiivse arvu. 3- (-8) = 3+8 = 11 + ja + = + + ja - =- -ja - = + - ja + = - Erimärgiliste arvude korrutis on negatiivne arv, mille absoluutväärtus on võrdne tegurite absoluutväärtuse korrutisega. Korrutamisel kehtib sama reegel : + ja - =- -ja - = + - ja + = - Kahe ratsionaalarvu jagatis on ratsionaalarv, mille saamiseks 1) J...
Eksponentvõrrand 11. klassile Ülesanne Milliste x väärtuste korral on rahuldatud võrrand (x+2)x2-x=1? Lahendus: Alustame selle võrrandi lahendamist analüütiliselt. · Teame, et aste võrdub ühega, kui astendaja on null. Seega saame, et x2-x=0; x (x-1)=0; x1=0; x2=1. Siit saime kaks lahendit. · Teame ka, et arvu 1 astendades mistahes reaalarvuga, saame alati ühe. Seega võib võrrandil olla lahendeid, kui astme alus võrdub ühega. x+2=1; x3=-1. · Veel teame, et kui negatiivset arvu astendada paarisarvulise astendajaga, siis saame positiivse arvu. J...
Exeli funktsioonid jagunevad rühmadesse: 1) Maatemaatilised(Math ja Tig) 2)Kuupäeva- ja kellaaja funktsioonid(Date ja Time) 3) Otsimise ja viitamise funktsioonid(Lookup ja Reference) 4)Loogikafunktsioonid (Logical) 5) Finantsfunktsioonid (Financial) 6)Tekstifunktsioonid(Text) 7)Statistikafunktsioonid (Statistical) Matemaatilised funktsioonid 1)Liitmisfunktsioon SUM(Liidetav1;Liidetav2) 5 SUM(piirkond) - liidab kokku piirkonnas olevad arvud 5 7 9 40 12 3 4 9 18 2)Aritmeetiline keskmine AVERAGE(piirkond) - see on tegelikult statistiliine funktsioon - annab piirkonnas olevate arvude aritmeetilise keskmine 3 9 10 7.333333 3)Ruutjuur arvust SQRT(arv) ...
8. KLASSI MATEMAATIKA ÜLEMINEKUEKSAM 1. Tehted arvude ja astmetega. Ruutjuur · Astmete korrutamine am × an=am+n · Astmete jagamine am : an=am-n · Korrutise astendamine(a × b)n=an × bn · Astme astendamine (am)n=amn · Jagatise astendamine ( )n=( ) · Kui astendaja on 0 a0=1 a 0 · Kui astendaja on negatiivne täisarv a-n = a0 Ruutjuur · Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. · Ruutjuur nullist võrdub nulliga. · Mittenefatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Ruutjuurte teisendused · Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegur...
POSITSIOONILISED ARVUSÜSTEEMID 121 4415 Leida alus 5 ------------------------------------------------------------ nd nd nd nd 0 000 0 Koostada ndsüsteemi korrutustabel ja teha selle abil ndsüsteemis 1 000 1 tehe 10 * 10 2 00 2 ------------------------------------------------------------ 3 00 3 4 0 4 Mitu 2ndjärku on vaja arvu esitamiseks ndkujul ? 5 0 5 ------------------------------------------------------------ ...
POSITSIOONILISED ARVUSÜSTEEMID 121 4415 Leida alus 5 —————————————————————————————— nd nd nd nd 0 000 0 Koostada ndsüsteemi korrutustabel ja teha selle abil ndsüsteemis 1 000 1 * tehe 10 10 2 00 2 —————————————————————————————— 3 00 3 4 0 4 Mitu 2ndjärku on vaja arvu esitamiseks ndkujul ? 5 0 5 ——————...
ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 = 16 29 = 512 34 = 81 44 = 256 64 = 1296 25 = 32 210 = 1024 35 = 243 45 = 1024 65 = 7776 26 = 64 211 = 2048 36 = 729 46 = 4096 7 4 = 2401 27 = 128 212 = 4096 37 = 2187 54 = 625 84 = 4096 28 = 256 213 = 8192 38 = 6561 55 = 3125 94 = 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui k 0 , siis a ka = b kb (murru laiendamine), ka ka : k a = = kb kb : k b (murru taandamine). 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b ,...
1. Kõik positiivsed täisarvud kaasa arvatud 0. Tähis on N. 2. Pöördarvudeks nim kahte arvu, mille korrutis on 1. Vastandarvud- kaks arvu mille summa on 0. 3. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. 4. Positiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. Negatiivsete täisarvude hulka tähistatakse sümboliga Z. 5. Täisarvu, mis jagub 2-ga, nimetatakse paarisarvuks. Ta esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. Paaritu, mittejaguvad täisarvud, esitatakse kujul 2n+1, kus n kuulub hulka Z. 6. Murdarvud tekivad täisarvude jagamisel a/b, kus jagaja b ei tohi olla 0. 7. Ratsionaalarvud on kõik täisarvud ja murdarvud. 8. Ratsionaalrvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a/b, kus a kuulub hulka Z, b kuulub hulka Z ja b ei võrdu 0-ga. 9. Harilikmurd on murd, mis avaldub kujul a/b, kus a kuulub hulka N, b kuulub hulka N ja b ei võrdu 0-ga. Kümnendmurd on murd, mis kirjutatakse koma...
TULETIS · Tuletise moodustamine: On antud funktsioon y = f ( x) . Järgnevalt on vaja leida funktsiooni muut: y = f ( x + x) - f ( x ) Seejärel lihtsustada muudu valemit. Lõpuks on vaja leida funktsiooni piirväärtus, mis ühtlasi on ka tuletis. Tuletist märgitakse [y']-ga. y f ( x + x ) - f ( x ) y ' = lim = lim x x x x Pärast koondamist ja taandamist lähendada või panna x võrduma nulliga. Nii kaob funktsioonist x ära. Järelejäänud avaldis ongi tuletis. NÄIDE: 1 Funktsioon: y = x 1 1 Muut: y = - ( x + x ) x 1 1 x - ( x + x) x - x - x -x Lihtsustus: y = - = = = ( x + x ) x x( x + x ) x ( x + x) x( x + x ) ...
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b b...
ARVUHULGAD 1. Naturaalarvude hulk N = {1;2;3; ...}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b b...
ARVUTAMINE JA ALGRBRALINE TEISENDAMINE Esmalt oleks vaja tuletada meelde järgmised valemid ja reeglid: Tähega N tähistatakse naturaalarvude hulka, st. arvud, mida saame loendamise teel (1, 2, 3, …..). Vahel arvatakse ka arv 0 naturaalarvude hulka. Tähega Z tähistatakse kõikide täisarvude hulka (… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) Tähega Q tähistatakse kõikide ratsionaalarvude hulka. Tähega I tähistatakse kõikide irratsionaalarvude hulka (mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud). Tähega R tähistatakse kõikide reaalarvude hulka. R Q I 1) Arvu aste. a) a n a a ......... a a, kui n N n tegurit b) a a a m n m n Näide: x 8 x 5 x13 c) a m : a n a m n Näide: y 9 : y 3 y 6 d) a n b n a b n Näide: x 5 y 5 xy ...
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Logaritm Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N. Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. Jagatise logaritm on võrdne jagatava ja jagaja logaritmide vahega. Astme logaritm on võrdne astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega. Potentseerimiseks nimetatakse avaldise logaritmi või arvu logaritmi järgi vastava avaldise või arvu leidmist. Logaritmfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y = logaX, kus a > 0 ja a 1. Logaritmvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles tundmatu esineb logaritmitavas või logaritmi aluses. logaN = r ar = N alog N = N a logN = log10N lnN = logeN logaN1N2 = logaN1 + logaN2 loga N1/N2 = logaN1 logaN2 logaNr = rlogaN logaN = logbN / logba Kui 0 < a < 1...
ARVUDE LOGARITMIMINE JA POTENSEERIMINE Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t Loga N1 * N2 = loga N1 * loga N2 Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t loga N1 / N2 = loga N1 loga N2 Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega, s.t loga Nc = c* loga N Neet kolm valemit on logaritmimise eeskirjad. Need valemid on potenseerimise eeskirjad, kui vasak ja parem pool ära vahetada: s.t loga N1 * loga N2 = Loga N1 * N2 s.t loga N1 loga N2 = loga N1 / N2 s.t c* loga N = loga Nc Näited (logaritmimine): 1.) log 10x = log 10 + log x = 1+ log x 2.) log 100a / b = log (100a) log b = log 100 + log a log b = 2 + log a log b 3.) log 10 m = m * log 10 = m*1 = m Näited (potenseerimine): 1.) log a + loga 5 = log 5a 2.) log 50 log...
LOGARITM
Eksponetfunktsiooniks nim funktsiooni y=ax ,kus a>0 ja a=1
Eksponetfunktsiooni omadused:
*Eksponentfunktsiooni y=ax määramispiirkond on reaalarvude hulk R
*Muutumispiirkond on positiivsette reaalarvude hulk.
* Funktsiooni y=ax positiivsuspiirkond ühtib määramispiirkonnaga, negatiivususp. Puudub.
*Funktsiooni y=ax on kasvav kui a>1 ja kahanev, kui 0
LOGARITM Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N logaN=r ar = N N logaritmitav (negatiivsetel arvudel ja arvul 0 puudub logaritm) a - logaritmi alus ( a>0 ja a 1 ) r - arvu N logaritm alusel a Logaritmi omadused: logaa = 1 loga1 = 0 alog a N = N a2log a N = ( alog a N)2=N2 a2+log a N =a2alog a N =a2N a2-log a N= a2 : (alog a N)= a2 : N a-log a N= N-1 Kümnendlogaritm Logaritmi aluseks on arv 10, mida ei kirjutata logN (log10N) Naturaallogaritm Logaritmi aluseks on arv e, mida ei kirjutata lnN (lneN) Avaldise logaritmimine ja potentseerimine Logaritminime avaldise logaritmi leidmine Potentseerimine avaldise logaritmi järgi avaldise leidmine · Korrutise logarit...
LOGARITMIMINE Logaritmi I definitsioon Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, kui arvuga c alust a astendades saadakse arv b. logab = c <-> ac = b logab = c [logaritm b-st alusel a] a logaritmi alus a > 1 v 0 < a < 0 ; a 1 b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2 log-1x log log-1x = Logaritmimise reeglid ja nende järeldused I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. logabd = logab + logad Järeldus: Logaritmide summa on võrdne korrutise logaritmiga. logab + log...
TEHTED ASTMETEGA Astmete korrutamine a2 a3 = a 2 + 3 = a 5 4-2 45 = 4 -2 + 5 = = 43 = 4 4 4 = 64 Üksliikmete korrutamine -2ab3 3ab4c2 = -2 3 a1+1 b3+4 c2 = = -6a2b7c2 Korrutise astendamine ( -2ab)3 = (-2)3a3b3 = -8a3b3 Astme astendamine (a3)2 = (a3) (a3) = a6 VÕI (a3)2 = a32 = a6 Üksliikme astendamine (-6a3b)2 = -6a3b(-6a3b) = 36a6b2 VÕI (-6a3b)2 = (-6)2 (a3)2 b2 = 36 a32 b2 = 36a6b2 Astmete jagamine a5 : a3 = a5-3 =a2 75 : 73 = 75-3 = 72 = = 7 7 = 49 a5 3 = a 5-3 = a 2 a Üksli...
Tartu Ülikool Teaduskool VÕRRATUSED Metoodiline juhend TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud Hilja Afanasjeva Jüri Afanasjev Tartu 2003 Juhendmaterjal on jätkuks TÜ Teaduskooli I kursusel läbitöötatud brosüürile E. Tamme "Algebraliste võrrandite lahendamisest". Vaadeldakse kõrgema astme võrratuste lahendamist intervallmeetodiga, absoluutväärtusi sisaldavaid võrratusi ja juurvõrratusi. Õppematerjali koostamisel kasutatud kirjandus: Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker, K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 ...
Ökonomeetria MS.0151 Laboratoorne töö nr. 10 Analüüsida järgmist astmefunktsiooni (Cobb-Douglas'e tootmisfunktsioon) , kusjuures a0 = 1 a1 + a 2 = 1 a1 = 0,888 (de on õpinguraamatu numbrikohad) a2 = 1 - a1 0,112 x1 - kapital x2 - tööjõud Selleks: a) arvutada funktsiooni väärtused kui x1 muutub vahemikus 10 kuni 20 (samm 0,5) ja x2 muutub vahemikus 2 kuni 20 (samm 1); a0= 1 a1 = 0,89 Tabeli päis x1/x2 2 3 4 5 6 10 8,3505553598 8,738514 9,02466 9,25 9,4439339291 10,5 8,7203006242 9,125437 9,42425 9,66 9,862091728 11 9,08...
Misted 8. klassile 1. Milline murd on harilik murd? * Harilik murd nitab, mitmeks vrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on vetud. 2. Milline murd on kmnendmurd? Too nide . * Kmnendmurd on komaga arv . nt : 2,14 ; 76,76 ; 16,36 3. Mida nimetatakse murru taandamiseks? * Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist he ja sama nullist erineva arvuga 4. Astmete korrutamine. Too nide. * he ja sama alusega astmete korrutamisel me liidame astendajad ja siis astendame astme alust. nt : a(astmes n) * a(astmes m) = a (astmes n+m) 3(astmes4)* 3 (ruudus) = 3(astmes 6) = 729 5. Astemete astendamine. Too nide. * Astmete astendamisel antendajad korrutame ja siis astendame. nt: (a astmes n) astmes m = a astmes mn ; (2 astmes -3) astmes 4 = 2 astmes -12 6. Astmete jagamine. * Sama alusega astmete jagamisel me lahutame astendajad ja siis astendame astme alust. 7.Negatiivne astendaja. Too nide . * Negatiiv...
Üksliikmed Raudvara 1.osa Üksliige Üksliikmeid nimetatakse arvuliste ja täheliste tegurite korrutist. x·2·x·y·3·(-5)·z=-15x2yz Kordaja 1 ja -1 jäetakse kirjutamata. Kordaja -1 asemel kirjutatakse lihtsalt märk. 1abc=abc -1abc=-abc Sarnased üksliikmed, sest täheline osa on sama. 3ab+4c-2ab-c=ab+3c Astmete korrutamine ja jagamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. am·an=am+n 37·311=37+11=318 (-4)5·(-4)7=(-4)5+7=(-4)12=412 Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. Murrujoonel on jagamismärgi tähendus. am:an=am-n ehk. = am-n 75:72=75-2=73 Astme astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. (am)n=am·n (23)4=23·4=212 -82= -64 (2x3)4= 24·(x3)4=16x12 (-32·x3·y4)6=312·x18·y24 Negatiivne astendaja Kui arv ei ole murruna, siis tehakse see murruks ja vahetataks...
Füüsikalise looduskäsitluse alused Füüsika üldmudelid Füüsikalised objektid ja suurused • Füüsika üldmudelid: • - keha (kindlad piirjooned, mõõtmed, mass) • -- punktmass (keha mass koondununa ühte punkti) • - füüsikalised suurused (kirjeldab mingi loodusobjekti ühte kindlat omadust) • Füüsikalised objektid on olemas objektiivselt, st sõltumatult mistahes vaatlejast või koguni inimkonnast tervikuna. • Füüsikalised suurused on vaatlejate ühised kujutlused, üldmudelid, mille abil on mugav füüsikalisi objekte kirjeldada. Füüsikalised objektid ja suurused • Väljad – mitteainelised objektid, mõjutavad kehi ja omavad energiat, ei saa kasutada ruumi ja aja mõistet. • Kehad – ainelised objektid, saab uurida nende kuju, värvust, mõõtmeid, koostist, omavahelist liikumist, vastastikmõju, saab kasutada ruumi ja aja mõisteid. • Nähtused – aineliste ja väljeliste objektidega toimuvad muutused. Füüsi...
Reeglid seitsmendale klassile Koostanud : Crazychil Tehted ratsionaalarvudega Ratsionaalarvude hulka kuuluvad positiivsed ja negatiivsed täisarvud ja murdarvud Kahe negatiivse arvu liitmine Arvu absoluutväärtus näitab kui kaugel on deda arvu kujutav punkt arvteljel 0 punktist Kahe erimärgilise arvu liitmine Vastandarvude summa on alati 0 Erumärgiliste arvude summa saamiseks lahutame suuremast absoluutväärtusest võiksema ja märgi võtame samasuguse nagu on suurema absoluutväärtuse ees Ratsionaalarvude lahutamine Lahutamine on vastandarvu liitmine Ratsionaalarvude liitmine lahutamine on vastandarvude liitmine. Posiiivse arvu B vastandarv on -B Negatiivse arvu -B vastandarvuks on positiivne arv B Seega vastandarvu vastandarv on arv ise Negatiivse arvu lahutamise asemel liidame vastandarvu Kahepunkti vaheline kaugus arvteljel Vähendatava ja vähendaja järjestuse muutmisel mmuutub vahemärk vastupidiseks ,ei muutu absoluutväärtus Ratsio...
ELEKTROTEHNIKA Üldist Andres Ojalill - Tallinna Polütehnikum Rahvusvaheline mõõtühikute õõtühik t süsteem ü t · 7 põhiühikut · Pikk Pikkus - meeter t [m] [ ] · Mass - kilogramm [kg] · Aeg - sekund [s] · Elektrivoolu tugevus - amper [A] · Temperatuur - kelvin [K] · V l Valgustugevus t - kandela k d l [[cd]d] · Ainehulk - mool [mol] Rahvusvaheline mõõtühikute õõtühik t süsteem ü t · 2 lisaühikut · tasanurga mõõtühik - radiaan [rad] · ruuminurga mõõtühik - steradiaan [sr] Elektriliste suuruste tähi t ...
1. Absoluutväärtus reaalarvuga x määratud mittenegatiivne reaalarv 2. Abstsisstelg x telg 3. Aksioom lause, mida loetakse õigeks ilma põhjenduseta. Aksioomid võetakse aluseks teiste väidete põhjendamisel. 4. Algarv Ühest suurem naturaalarv, mis jagub vaid ühe ja iseendaga. 5. Algebraline murd murd, mille lugejaks ja / või nimetajaks on muutujaid sisaldav avaldis. 6. Algebraline ruutjuur arv, mille ruut on antud arv a. 7. Algkoordinaat antud sirge ja ordinaattelje lõikepunkti ordinaat. 8. Algtegur naturaalarvu algarvuline tegur. 9. Algteguriteks lahutamine naturaalarvu esitamine algarvuliste tegurite korrutisena. 10. Alusnurk võrdhaarse kolmnurga või trapetsi aluse ja haara vaheline nurk. 11. Apoteem 1. korrapärase hulknurga keskpunktist küljele tõmmatud ristlõik. 12. 2. korrapärase püramiidi tipust külgtahule tõmmatud kõrgus. 13. Aritmeetiline keskmine suuruste summa jagatis nende suuruste arvuga. 14. A...
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (a...
Türi Põhikool Ristsõnade vihik Autor: Jane Kägu Türi 2012 Sisukord Ristsõnad............................................................3-7 Vastused..............................................................11-17 3 Aste Paremale 2. -7 absoluutväärtus on 4. Arv mida astendan 5. Iga arv astmes 1 on võrdne arvu 6. -2 on arvu 2 7. Alus koos astendajaga 8. Arv, millega astendan Alla 1. Kui astendaja on 0 siis aste võrdub 3. Negatiivse aluse kirjutan 4 Protsent Paremale 4. Osa jagatud tervikuga on 5. Osamäär korrutatud tervikuga on 7. 75% tervest on 8. Tervik jagatud osamääraga on Alla 1. Tuhandik osa tervikust on 2. 25% tervest on 3. Protsentides antud osam...
Summa ja vahe astendamise seoseid · Esimene seos LIIKMETE ARV Oletame, et meil on tehe ( a + b ) , kus 'a' ja 'b' on liidetavad ja 'n' on astendaja. n Summa või vahe astendamisel 'n'-ga on tekkivaid liikmeid alati n+1. NÄITEKS: ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab3 + b4 4 ( a + b ) = a8 + 8a 7b + 28a 6b 2 + 56a5b3 + 70a 4b 4 + 56a3b5 + 28a 2b6 + 8ab7 + b8 8 · Teine seos KA VAHE ON SUMMA Kui meil on näiteks tehe ( a - b ) , tuleb seda võtta kui a + ( -b ) n n , mis tähendab seda, et saadavas avaldises tuleb kõigi liikmete, mis sisaldavad 'b'-d märgid kirjutada vastupidiselt, välja arvatud juhul, kui 'b' on paarisarvulise astendajaga. NÄITEKS: ( a...
Makroökonoomika I MJRI.10.028 Valitud seminariülesannete lahendused ja /või vastused Seminar 1 ülesanne 10 (nominaalne ja reaalne SKP, deflaator) aasta Müüdud arvutite Tüki hind Müüdud autode Auto hind arv arv 2000 500 000 $6000 1 000 000 12 000 2010 5 000 000 $2000 1 500 000 20 000 a) Arvutage 2000 ja 2010 aasta nominaalne ja 2010 a reaalne SKP (2000 kui baasaasta) Nominaalne SKP: 2000.a. 15 miljardit, 2010.a. 40 miljardit Reaalne SKP 2010: 48 miljardit (baasaasta ehk 2000.a. reaalne SKP = nominaalne SKP = 15 mld) b) Milline oli reaalse SKP protsendiline muutus 2010 võrreldes 2000-ga? (48-15)/15=220% c) Arvutage reaalne SKP 2000 aastal kasutatades 2010 aastat kui baasaastat: 0,5*2+1,0*20=21 miljardit d) Milline oli nü...
1. harilik murd Harilik murd näitab, mitmeks võrdseks osaks on tervik jaotatud ja mitu sellist osa on võetud. 2. kümnendmurd Kümnendmurd on komaga arv. N: 23,4 ;14,1 ; 3,8 ; 10,5 3.murru taandamine Hariliku murru taandamiseks nimetatakse murru lugeja ja nimetaja jagamist ühe ja sama nullist erineva arvuga. 4.Astmete korrutamine Ühe ja sama arvu astmete korrutamisel astendajad liidetakse. 32 · 31 = 32 + 1 = 33 = 3 · 3 · 3 = 27 5.Astmete astendamine Astme astendamisel astendajad korrutatakse. 6.Astmete jagamine Ühe ja sama arvu astmete jagamisel astendajad lahutatakse. a m : a n = a m-n 7.Negatiivne astendaja Murd, mille lugejaks on arv 1 nimetajaks sama aste positiivse astendajaga. 1 a -n = n , kus a 0 a 8.Arvu standardkuju Kui arv on esitatud kahe teguri korrutisena, millest üks jääb arvude 1 ja 10 vahele ning teine arvu 10 aste, siis öeldakse, et arv on kirjutatud standardkujul. N: 20000 = 2 *10 4 500000000...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Mehaanikateaduskond Soojustehnika instituut SOOJUSJÕUSEADMED Referaat Juhendaja: .......................... Koostas: ............. (Rühm) Tallinn 2014 SISUKORD SISUKORD.................................................................................................................................2 SISSEJUHATUS.........................................................................................................................2 1.AJALUGU...............................................................................................................................3 2.SISEPÕLEMISMOOTORITE TÜÜBID JA KLASSIFIKATSIOON.....................................4 3.OTTO RINGPROTSESS....................................................................................................
HARILIKUD MURRUD 1 3 Murdude liigitus M u rd a vu H a rilku d K ü m n e d m u rd m urd L ih tm u rd S e g a rvu d L ig m u rd Harilikud murrud Harilik murd näitab, mitmeks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa tervest on võetud. Terviku jaotamine osadeks Harilik murd...
HARILIKUD MURRUD Murdude liigitus M u rd a vu H a rilku d K ü m n e d m u rd m urd L ih tm u rd S e g a rvu d L ig m u rd Harilikud murrud Harilik murd näitab, mitmeks osaks on tervik jaotatud ja mitu osa tervest on võetud. Terviku jaotamine osadeks...
Sisukord 1.Sissejuhatus...................................................................................................................................2 2.Tekstitöötlusest ja Wordist............................................................................................................3 1.Dokument..................................................................................................................................3 2.Tekstitöötlusest.........................................................................................................................3 3.Muud komponendid..................................................................................................................3 3.MS Word 2010 kasutajaliides.......................................................................................................5 Joonis 1 Lint..............................................................................
Füüsikaline keemia Kristian Leite Materjalid/ainet andis Kalju Lott TD mõisted Termodünaamiline süsteem ruumiosa, mida iseloomustavad kindlad termodünaamilised suurused. See on eraldatud ümbritsevast piirpinnaga. Olekuparameetrid termodünaamilist süsteemi iseloomustavad suurused n. U,H,G,F. Olekuvõrrand Parameetrite omavaheline sõltuvus n. ideaalgaasi olekuvõrrand Olekufunktsioon süsteemi olekust sõltuv suurus, sellele vastandub protsessifunktsioon (vt.all). On täisdiferentisaalina Protsessifunktsioon süsteemis toimuvat protsessi iseloomustav suurus, sõltub protsessi läbiviimise viisist, tähistatakse väiketähega (töö w, soojushulk q) Homogeenne süsteem süsteem, kus omadused on kõikjal ühesugused või muutuvad ühtlaselt Heterogeenne süsteem süsteem, mille võib jaotada erinevate omadustega osadeks (faasid) Faasid süsteemi osad, mida iseloomustavad faasisiseselt ühtlased termodünaamil...
Eksperimentaalne töö 1 Töö ülesanne Ainete kontsentratsiooni muutuste mõju tasakaalule Töö eesmärk La Chatelier` printsiip - reaktsiooni tasakaalu nihkumise uurimine lähteainete ja saaduste kontsentratsiooni muutmisel. Sissejuhatus La Chatelier` printsiip- tingimuste muutmine tasakaalusüsteemis kutsub esile tasakaalu nihkumise suunas, mis paneb süsteemi avaldama vastupanu tekitatud muutustele. Kui tingimused ei muutu, saabub selliste reaktsioonide puhul mingil hetkel olukord, kus vastassuunaliste reaktsioonide kiirused saavad võrdseks, ühegi aine kontsentratsioon enam ajas ei muutu ja tekkinud segus on sõltuvalt tingimustest rohkem või vähem kõiki reaktsioonis osalevaid aineid – nii lähteaineid kui saadusi. Sellist olukorda nimetatakse keemiliseks tasakaaluks. Keemiline tasakaal on nn dünaamiline tasakaal, sest protsessid ei ole lõppenud, vaid nad kulgevad vastassuundades ühesuguse kiirusega. Kontsentratsioon. Lähteainete kontsentra...
MHE0042 MASINAELEMENDID II Kodutöö nr. 1-B Variant nr. Töö nimetus: Veerelaagri valik ja arvutus A -4 B -2 Üliõpilane (matrikli nr ja nimi) Rühm: Juhendaja: A. Sivitski Töö esitatud: Töö parandada: Arvestatud: 23.05.2014 1 Veerelaagrite valik ja arvutus d2/2 m m Fr Ft Fa l/2 l Antud: Võlli materjal: teras C45E (ReH = 370 MPa, Rm = 630 MPa). Ülekantav pöörde...
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Keemiatehnika Instituut MEHAANILINE SEGISTI Laboratoorne töö õppeaines Keemiatehnika Õppejõud: Jelena Veressinina, Keemiatehnika õppetool lektor Tallinn 2014 SISUKORD Töö ülesanne...............................................................................................................................3 Katseseadme skeem....................................................................................................................4 Katseandmed ja arvutused..........................................................................................................5 Kokkuvõte.................................................................................................................................14 ...
Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses. 1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusüuhik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvteljepunktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljelon arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui sel...
Termodünaamika I kordamisküsimused 2013 1. Nimetada termodünaamika kolm printsiipi. Esimene printsiip on energia jäävuse seadus, millest järeldub siseenergia U kui olekufunktsiooni olemasolu. Kui ainehulk on jääv, siis siseenergia muutus U=Q-W, kus Q on süsteemi sisestatud soojushulk ja W süsteemi tehtud töö. Teine printsiip määrab iseeneslike protsesside suuna. Klassikalised sõnastused, mille kohaselt soojus ei saa iseenesest minna külmemalt kehalt soojemale ja ei ole võimalik ehitada perioodiliselt töötavat soojusjõumasinat, mille tegevuse ainus tulemus on soojuse muundumine tööks Kolmas printsiip määrab termodünaamilises tasakaalus olevate süsteemide käitumise absoluutse nullpunkti ligidal: tasakaalulises süsteemis on entroopia absoluutse nullpunkti juures süsteemi olekust sõltumatu 2. Mida uurib statistiline , klassikaline ja tehniline termodünaamika Statistiline füüsika seostab termodünaamika põhimõisted ja pr...
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
