5) Leidke selline a väärtus , mille korral funktsioon graafik lõikab x-telge kohal 1. x1 0; x2 log 3 2 0, 63 1; Vastus: 1) -2; 2) (1;0) (0;-2) ; 3) ; 4) 5) a = 3 9.Trigonomeetriline võrrand ja võrratus Lahenda järgmised võrrandid või võrratused! a) sinx cosx = 0,5 Vastus : x = 450 +900n , n 2
võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (arvuga a). Võrratuse saame siis, kui kirjutame kahe avaldise vahele võrratusmärgi <, >, ≤ , ≥ . 2a + 4 < 16 + 5a Arvvõrratus on võrratus, mille mõlemal pool on arvavaldised. 45 - 3∙6 > 2 + 8 Arvvõrratus on kas tõene või väär. -4 < 2 (tõene), 9 > 0 (väär) Võrratus võib sisaldada ka tundmatuid. 2x - 3,4 > 6 + 5x Tundmatu seda väärtust, mille korral saame antud võrratusest tõese lause, nimetatakse võrratuse lahendiks. 2x > 9; x > 4,5; x = 5 on võrratuse lahend Võrratuse kõik lahendid moodustavad võrratuse lahendihulga. x > 4,5 on lahendihulk
logaritmfunktsioon -1 kasvav ja ühest -2 väiksema (kuid nullist y = log 1/a x, suurema) aluse korral kahanev. 0<1/a <1 Lihtsaimad logaritmvõrratused Lihtsaimad logaritmvõrratused log a x > b, (1) log a x < b (2) on lahenduvad igasuguse konstandi b R korral. Juhul a > 1 on võrratus (1) rahuldatud kui x > a b , võrratus 0 < x < ab . (2) aga siis kui Juhul 0 < a < 1 on võrratus (1) rahuldatud kui 0 < x < a , b võrratus (2) aga siis kui x > a b . y y y = log a x, b y = log a x, 0< a<1 a >1 b 1
ühest suurema aluse 5 korral on eksponentfunktsioon kasvav ja ühest 2 väiksema aluse korral 1 kahanev. -3 -2 -1 0 1 2 3 x Lihtsaimad eksponentvõrratused Lihtsaimad eksponentvõrratused on ax > b (1) ja ax < b. (2) Juhul kui b 0, siis on võrratus (1) täidetud iga x R korral, võrratusel (2) aga lahendid puuduvad. Lihtsaimate eksponentvõrratuste lahendamine Kui b > 0, siis sõltub lahendihulk sellest, kas alus a on ühest suurem või väiksem: y = ax , y a) juhul kui b a> a > 1, 1
teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool V: x ; 2,2 3 ; d) Viirutada -2,2 3 x e) Kirjutada võrratuse lahend 3. KÕRGEMA ASTME VÕRRATUS (𝑥 2 − 𝑥)(2 + 𝑥)(1 − 𝑥) > 0
N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse. Tundmatuid sisaldava võrratuse korral tekib selle lahendamise probleem. Vaatleme siin vaid ühe tundmatuga võrratusi. Sellise võrratuse lahendiks nimetatakse tundmatu väärtust, mille puhul võrratus on rahuldatud, st mille asetamisel võrratusse tundmatu asemele saame õige arvulise võrratuse. Lahendada võrratus tähendab leida selle kõik lahendid. Kaks, kolm jne võrratust, mis sisaldavad üht ja sama tundmatut, võivad moodustada võrratuste süsteemi. Lahendada võrratuste süsteem tähendab leida nende võrratuste ühise tundmatu kõik sellised väärtused, mis rahuldavad korraga selle süsteemi kõiki võrratusi.
a >b a+m>b+m a b k a > k b, kui k > 0 a < b k a < k b, kui k > 0 4. Kui võrratuse mõlemad pooled korrutada või jagada ühe ja sama negatiivse reaalarvuga, muutub võrratusmärk vastupidiseks: a > b m a < m b, kui m < 0 a < b m a > m b, kui m < 0 ÜHE MUUTUJA LINEAARVÕRRATUSED Kui võrratus sisaldab tundmatut, siis saab teda lahendada, s.t. leida tundmatu kõik need väärtused, mille puhul antud võrratusest saame õige lause. Need tundmatu väärtused moodustavad võrratuse lahendihulga. Näide 1. Lahendada võrratus 2x 8 > 7. Viime 8 teisele poolele 2x > 7 + 8 2x > 15 jagame 2-ga (>0) x > 7,5 Võrratuse lahendiks on kõik arvud, mis on suurem kui 7,5. Vastus: x (7,5; ).
märk vastupidiseks.
Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3.
Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt
teisele, muutes üleviidava liikme märki.
Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0.
Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada)
nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades
võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb
samaks.
Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21.
Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21.
Võrratuse lahend
Kui võrratus sisaldab muutujat, siis
saame rääkida võrratuse
lahendamisest.
Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille
korral võrratus osutub tõeseks nim.
võrratuse lahendeiks ja kõiki koos
võrratuse lahendihulgaks.
Võrratuse lahendid on
enamasti reaalarvude
piirkonnad.
Reaalarvude piirkondade märkimiseks
kasutatakse järgnevaid sümboleid:
Lõik axb
x[a;b]
Vahemik a
Esimese kollokviumi (teooriatöö) kordamisküsimused 1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. Definitsioon: Hulka X nimetatakse tõkestatud hulgaks, kui X on ülalt ja alt tõkestatud. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv M, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x ≤ M, siis öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kusjuures arvu M nimetatakse hulga X ülemiseks tõkkeks. Definitsioon :Kui leidub niisugune reaalarv m, et hulga X iga elemendi x puhul kehtib võrratus x≥m, siis öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kusjuures arvu m nimetatakse hulga X alumiseks tõkkeks. Nt: x={1;1;3;5;7} M=ülemine tõke=7 m=alumine tõke=1 2. Sõnastada arvu ε...
Matemaatika ,,Funktsioon" test Võrdeline seos muutujad x ja y on seotud valemiga y=ax, kus (a0) Võrdelise seose graafikuks on sirge, mis läbib 0-punkti. a>0 I & III a<0 II & IV Suurust y nimetatakse sõltuvaks suurusest x, kui erinevatele x väärtustele vastavad kindlad y väärtused. · X-sõltumata muutuja · Y-sõltuv muutuja Funktsioon vastavus, mille järgi sõltumatu muutuja igale kindlale väärtusele seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi väärtus Funktsiooni y=f(x) määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide selliste muutuja x väärtuste hulka, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada. (Tähis:X) Funktsiooni y=f(x) muutumispiirkonnaks nimetatakse muutja y kõigi väärtuste hulka.(Tähis:Y) Funktsiooni esitusviisid: valem, sõnaline formuleering, nooldiagramm, graafik, tabel. Funktsiooni nullkohaks nimetatakse argumendi väärtust, mille korral funktsiooni väärtus on null. Võrrand-(f(x)=0)(Tähis:X0) Funktsiooni posit...
Teoreem Funktsiooni piirväärtus kehtib ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused. Kehtib valem 10. · Funktsiooni piirväärtustega seotud omadused: 1. 2. 3. Lisaks saame tuletada veel kaks omadust 4. 5. Omadused jäävad ka siis püsima, kui a asendada · Liitfunktsiooni piirväärtuse valem Olgu antud kaks funktsiooni . Kui siis kehtib võrratus Omadused jäävad ka siis püsima, piirprotsessis kui a asendada ja b asendada 11. · Lõpmatult kahanev suurus Funktsioon on lõpmatult kahanev, kui funktsioon piirprotsessis läheneb nullile. Ehk · Lõpmatult kasvav suurus Funktsioon on lõpmatult kasvav, kui funktsioon piirprotsessis läheneb lõpmatusele. Ehk Omadused jäävad ka siis püsima, piirprotsessis kui a asendada Teoreem
1) Funktsiooni määramispiirkonnaks (X) nim. argumendi (x) väärtuste hulka, mille korral funktsiooni (y) väärtust saab leida. 2) Funktsiooni muutumispiirkonnaks (Y) nim. funktsiooni väärtuste hulka. 3) Funktsiooni nullkohtadeks (Fo) nim. Argumendi väärtuste hulka, mille korral funktsiooni väärtus on 0. Leidmine: tuleb panna 0-ga võrduma ehk funktsioon (y) asendatakse 0-ga. 4) Funktsiooni positiivsuspiirkonnaks (F+) nim. argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on positiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 5) Funktsiooni negatiivsuspiirkonnaks (F-) nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral funktsiooni y väärtused on negatiivsed. Leidmine: võrratus+intervallimeetod 6) Funktsiooni kasvamisvahemikuks nim. Argumendi x väärtuste hulka, mille korral x-i väärtuste kasvades y-i väärtused kasvavad. Tunnus: f´(x)>0 7) Funktsiooni kahanemisvahemikuks nim. Ar...
ARVUDE NIMED LIITMISEL: ARVUDE NIMED LIITMISEL: 7 + 6 = 13 7 + 6 = 13 LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAV LIIDETAV SUMMA LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. LIIDETAVAD on arvud, mida liidame. SUMMA on liitmise tulemus. SUMMA on liitmise tulemus. ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: ARVUDE NIMED LAHUTAMISEL: 14 - 6 = 8 14 - 6 = 8 VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV VÄHENDAJA VAHE VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDATAV on arv, millest lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VÄHENDAJA on arv, mida lahutame. VAHE on lahutamise tulemus. ...
Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui:
8. Funkts y=f(x) nim. kahanevaks vahemikus (a;b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste vähenedes ka funkts. Vastavad väärtused vähenevad. 9. Kasvavateks funkts. Nim. Funkts. Mille kasvamispiirkond ühtib funkts. määramispiirkonnaga 10.Kahanevateks funkts. Nim. Funkts. Mille kahanemisvahemik ühtib määramispiirkonnaga. 11.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) maksimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on suurem kui või võrdne f(x) 12.Kohale X0 on funktsioonil y=f(x) miinimum kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha X0 mingist ümbrusest kehtb võrratus: f(x0) on väiksem kui või võrdne f(x) 13.Funkts y=f(x) nim. Paarisfunktsiooniks kui iga x korral funktsiooni määramispiirkonnast kehtib võrdus f(-x)=f(x) 14.Graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. 15.Funkts y=f(x) nim. Paarituks funktsiooniks kui iga x korral funktsiooni
Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix
1. Arvutage avaldise täpne väärtus ilma taskuarvutita, näidates tehteid: 1 1 -2 - 1 100 4 10 5 + 0,04 2 - - + 16 0, 25 52,3 0 + 2 3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta). Iseloomusta funktsiooni y = 3 x (vähemalt viis kõige olulisemat omadust). 3. Kui suureks kasvab summa 570 eurot nelja aasta pärast, kui pank maksaks kuus 1% intressi? 4. Lahendage võrratused, põhjenda (miks): a) 0,12 x 0,1 ja b) 8 2 2 x -3 > 43. x -1 1 5
1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5. Leia kõigi täisarvude summa, mis jäävad lõigule [-5;7] ja kuuluvad funktsiooni y = 2 - log 2 ( 2 + 4 x - x 2 ) määramispiirkonda. 1) 7 2) 4 3) 5 4) 13 6. Leia funktsiooni suurima ja vähima väärtuse korrutis. 1) -2,25 2) 2,25 3) -2,125 4) 2,125 y = f ( x) 7. On antud funktsioonid lahenda võrratus f ( x ) < g ( x ) . y = g( x) 1) ( 0, 5 ) 2) ( -5 ; 0 ) 3) (-5;0] y = g ( x) 4) [-5;0] y = f ( x) x 8. Lahenda võrrand 3 - 2 cos =0 3 1
paarisfunktsiooniks, kui f(-x)=f(x)
DEF 6. Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes nim.
paarituks funktsiooniks, kui f(-x)=-f(x)
DEF 7. Funktsiooni nim. perioodiliseks, kui leidub selline arv T0, et iga xX korral ka x+-
TX ja f(x+T)= f(x). Vähimat pos.arvu T mille korral f(x+T)=f(x) nim. funktsiooni
perioodiks.
DEF 8. Funktsiooni f nim. kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1X ja
x2X korral, mis rahuldavad võrratust x1
argumentidele x1 ja x2, hulk
D.astmef.märpiirk. sõltuvus a- erineva tul.korral on funk.muut
st.a)a=p/q (kui q paaritu, a>0, siis ja dif. Ekvival.suurused
X=R, kui a
Teemad: 5. Öeldakse, et { xn} on Cauchy jada ehk fundamentaaljada, kui iga > 0 korral leidub C N, 1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed et iga naturaalarvu n > C ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus |xn+p - xn| < . ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Lause. Jada { xn} koondub parajasti siis, kui ta on Cauchy jada. 2. Funktsiooni mõiste. Reaalmuutuja ühene funktsioon. Määramispiirkond, muutumispiirkond. Jada kuhjumispunktiks nim. arvu, mille igas ümbruseson lõpmata palju vaadeldava jada Paaris ja paaritud funktsioonid. Perioodilised ja antiperioodilised funktsioonid. liikmeid.
Jada nim tõkestatuks kui leidub selline arv M0, et IxnIM (n-N) (iga koonduv jada on tõkestatud) jada, mis saadakse jadast mingi lõpliku või lõpmata hulga jada elementide väljajätmisel, nim selle jada osajadaks Bolzano-Weierstrassi teoreem: igast tõkestatud jadast saab eraldada koonduva osajada Cauchy kriteerium: jadal on lõplik piirväärtus parajasti siis, kui vastavalt igale + arvule leidub niisugune naturaalarv n0 ja naturaalarvu p korral kehtib võrratus Ixn+p-xnI Arvu b nim funktsiooni f piirväärtuseks punktis a, kui iga + korral leidub +, et iga x korral, mis tädab tingimust 0Ix-aI, kehtib võrratus f ( x ) - b < . lim f ( x ) = b ehk f ( x ) b , kui x a xa Suurust + nim funkts-i piirväärtuseks punktis a, kui iga M0 leidub 0, et iga x korral, mis täidab tingimust 0 Ix-aI, kehtib võrratus f(x)M
Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju...
Koonduvus normi järgi. Ühtlane koonduvus.Weierstraßi tunnus................................................................................................ 6 8.Astmeread. Astmerea koonduvusraadiuse mõiste. Koonduvusraadiuse leidmine. Abeliteoreem: ühtlase ja absoluutse koonduvuse seos koonduvusraadiusega....................... 8 9. Astmeridade liikmeti diferentseerimine ja integreerimine. Astmeridade rakendusi..............9 10. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral. Besseli võrratus ja Parsevali võrdus. Fourier' rida ortogonaalse süsteemi korral:.......................................................................................... 9 11.Fourier' rida ortogonaalsete polünoomide süsteemi järgi Lehendre'i või Tsebõsovi polünoomide näitel................................................................................................................ 11 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju...
ümbruses. Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem f(x) ≈ Pn(x). Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. 3. Defineerida funktsiooni lokaalne maksimum, lokaalne miinimum ja lokaalne ekstreemum. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ); 2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. 4. Sõnastada ja tõestada Fermat’ teoreem. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles
RUUTVÕRRATUS LAHENDAMINE a) Viia kõik liikmed vasakule poole võrdusmärki, korrastada võrratus b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool (ka siis kui nullkohti ei ole!!!) Kui x2 ees on ’pluss’, siis avaneb parabool üles Kui x2 ees on ’miinus’, siis avaneb parabool allapoole d) Viirutada Kui võrratuses on >0, siis viirutada sealt, kus parabool on ülalpool x-telge Kui võrratuses on <0, siis viirutada sealt, kus parabool on allpool x-telge e) Kirjutada võrratuse lahend (see, mida viirutasid, see ongi lahend)
xa |x a| < y y = f(x) A RA= | f (x) A | < R= 0 x a 9 Arvu A nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et kehtib võrratus | f(x) A | < alati kui | x a | < . Näide Tõestame, et lim(3 x + 1) = 7. x2 Olgu antud suvaline > 0, et kehtiks võrratus (3 x + 1) - 7 < , peavad kehtima järgmised võrratused 3 x - 6 < , x - 2 < 3 Nüüd näitame, et on võimalik leida niisugune , et võrratusest x - 2 < järelduks esimene võrratus.
6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafiku 7. Kontrollin Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võtan olulisuse nivoo = 0,10; st testi statistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238). Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus: Et hüpotees vastu võetaks, peab DN Dkr, antus arvutustes kehtib võrratus 0,16 < 0,238 ja seega võtan nullhüpoteesi vastu ning põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus. 8. Jagan valimi viieks võrde mahuga osaks ( võtan osaks 1.-5.arvu...21.-25. arvu). Kontrollin moodustunud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi , kasutan selleks dispersioonanalüüsi metoodikat ja võtan olulisuse nivooks = 0,05: Leian rühmade keskväärtused: Leain rühmade dispersioonid: Excelis tehtud arvutused esitan tabelina:
. 23 3.10 Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest ……………………..….… 24 3.11 Determinandid …………………………………………………..….. 27 3.12 Lineaarvõrrandisüsteem ……………………………………….….… 27 3.13 Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest ……………..……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3
b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x1 < x2, siis f (x1) > f (x2). *Kahanemispiirkond maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kahaneb (tähis X) Ekstreemumkohad funktsiooni maksimum- ja miinimumkohad (tähis X e). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) = f (x). 13. Astmefunktsioonid funktsioonid, mida esitab valem y = ax(n), kus a ei tohi võrduda nulliga ja n peab olema reaalarv. *Ruutfunktsioon parabool; kuupfunktsioon hüperbool. 14. Funktsiooni graafiku teisendused 15. Pöördfunktsioon olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni
3) Tuleb kontrollida, kas ülejäänud kriitilistes punktides leidub lokaalseid ekstreemume kasutada definitsiooni. Lokaalne ekstreemum võib olla ainult määramispiirkonna sisepunktis. Mitme muutuja funktsiooni globaalsed ekstreemumid Olgu antud funktsioon u =u ( x, y , z ,...) ( x, y, z,...) D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D globaalne miinimum, kui P D korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: min u = u ( P0 ) = A . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D globaalne maksimum, kui P D korral kehtib võrratus f ( P0 ) f ( P ) . Tähistus: max u = u ( P0 ) = A . Globaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Globaalne ekstreemum võib olla ainult kriitilises punktis või rajapunktis. Analoogiliselt defineeritakse rangete võrratustega range globaalne miinimum ja range globaalne maksimum (ühine nimetus range
16 kümneline üheline ühekohaline arv 6, 4, 3, 1 kahekohaline arv 10, 18, 36, 49 punkt . + x kõverjoon sirgjoon paarisarv 0; 2; 4; 6; 8 Paarisarvud on arvud, mille üheliste number on 2, 4, 6, 8 või 0. nt: 2, 16, 28, 140, 374 paaritu arv 1; 3; 5;7;9 Paaritud arvud on arvud, mille üheliste number on 1, 3, 5, 7, 9 nt: 3, 11, 79, 265, 967 võrdus 12 + 7= 19 15 10= 5 võrratus 20 > 11 18 < 19 Enne lahutan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 15 7 = 15 5 =10 10 2 = 8 15 7 = 8 Enne liidan täiskümneni ja siis ülejäänud. nt: 18 + 6 = 18 + 2 = 20 20 + 4 = 24 18 + 6 = 24 Pikkusühikud 1 m = 10 dm 1 m = 100 cm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm Raskusühikud 1 t = 1000 kg 1 ts = 100 kg 1 kg = 1000 g
Muutujavahetus päratus integraalis ( ). Kui arvrea korral on täidetud tingimused, et f(k)=ak, f(x)≥0 (xϵ[1,lõpmatus)) f(x) kahaneb (xϵ[1,lõpmatus)), siis rida ja päratu intergraal kas koonduvad või hajuvad samaaegselt. 3. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Võrdlus harmoonilise reaga. Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul 1.Kui positiivsete arvridade Σk=1 ak ja Σk=1bk üldliikmete vahel kehtib võrratus ak≤bk, siis rea Σk=1bk koondumisest järeldub rea Σk=1 ak koondumine; rea Σk=1 ak hajumisest järeldub rea Σk=1bk hajumine. 2.Kui Σk=1 ak ja Σk=1bk on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus nende üldliikmete ak ja bk suhtes limk- ∞ ak/bk =γ≠0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame Võime piirduda juhuga k0=1. Et Siis saame tulemuseks võrratuste ahela
Võrrandid ja võrratused Põhiteadmised · Võrdus, võrrand, samasus; · võrrandisüsteem ja selle lahendusvõtted; · arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid
Paaritu funktsioon - Funktsiooni f, mille määramispiirkond X on sümmeetriline nullpunkti suhtes, nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui ∀x ∈ X : f(−x) = −f(x). Perioodiline funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline arv T ≠ 0, et iga x ∈ X korral ka x ± T ∈ X ja f(x + T) = f(x). Kasvav funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks ehk rangelt kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1< x2, kehtib võrratus f (x1) < f(x2). Kahanev funktsioon - Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks ehk rangelt kahanevaks piirkonnas X, kui iga x 1 ∈ X ja x2 ∈ X korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib võrratus f (x1) > f(x2). Monotoonne funktsioon - funktsioon, mis kogu oma määramispiirkonnas on mittekahanev (monotoonselt kasvav funktsioon) või mittekasvav (monotoonselt kahanev funktsioon). Pöördfunktsioon - Funktsiooni y = f(x) (x ∈ X) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni x=f -1
Funktsiooni ! nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = ! . Funktsiooni ! nimetatakse paarituksfunktsiooniks, kui iga korral kehtib võrdus ! - = -! . Funktsiooni ! nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant ' > 0 nii, et iga korral kehtib võrdus ! + ' = ! . Väikseimat sellist konstanti ' nimetatakse funktsiooni ! perioodiks. Olgu ( funktsiooni ! määramispiirkonna alamhulk. Valmine hulgast ( kaks suvalist arvu ) ja * nii, et kehtib võrratus ) < * . Kui funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja * võrratuse märk ei muutu, st ! ) < ! * , siis on funktsioon ! kasvav hulgas (. Kui aga funktsiooni ! rakendamisel argumentidele ) ja * võrratuse märk muutub vastupidiseks, st ! ) > ! * , siis on funktsioon ! kahanev hulgas (. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon on funktsioon kujul = + , kus on nullist erinev konstantne astendaja.
X korral kehtib võrdus f(-x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x X korral kehtib võrdus f(-x) = -f(x). Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. Astmefunktsioon funktsioon kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle
Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm ) 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x 1). Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1) Sõnastada Fermat' lemma . Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv, siis f´(x1)=0 20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja
c) (2x – 1)(x + 2) = 2x2 – 3(x – 4); d) -3,5(2,5x – 2,5) = 12,25x – 5,25; e) –(2x + 3) + 1 = -2x – 2. 2. Leia võrrandi lahendid. 3x − 1 3x − 5 a) = ; x+2 x +1 4x − 1 1 b) + 3x − 1 = − (2 x − 5) ; 2 3 − 3x − 1 3x + 1 1 c) − =− . 2 3 6 3. Leia võrratuse 4x – 1 ≤ 11 naturaalarvulised lahendid. 4. Lahenda võrratus. a) 4x – 1 > 2(-x – 3); b) -5(-2x – 5) < - 3x – 2; c) -5(2x – 5) < -3x – 2; 4x − 1 x + 4 d) − < 1; 2 5 2 x − 1 3x − 2 4 − 5 x e) − + ≥ 1. 2 3 4 5. Üks kilo suhkrut maksab 0,95 €. Mitu kotitäit (ühe koti kaal on 50 kg) suhkrut saab osta ärimees Aadu Kana, kui tal on selleks raha 500 kuni 600 eurot? 6. Hansapanga aktsia sulgemishind oli 10. 11. 2004.a. 130,80 krooni
paaritu. Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks kui leidub konstant C>0 nii et iga korral kehtib võrdsus Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Sin( x+2)=sinx )c=2) Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määaramispiirkonna alamhulk. Valime h ulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis f on kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks st f(x1) > f(x2), siis f on kahanev hulgas D. Astmefunktsiooni mõiste (määramispiirkonda ei küsi). kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Eksponent- ja trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste
*Rangelt monotoonseks nimetatakse funktsiooni, mis kogu oma määramispiirkonnas *Jada {Xn} osajadaks {Yn} nim. jada, mis on saadud jadast {Xn} lõpliku või lõpmatu
on kasvav või kahanev. hulga jada elementide väljajätmise teel.
*Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks piirkonnas X, kui iga x1,x2 ∈ X korral, mis
rahuldavad võrratust x1
konstantide ja korral on ka funk tsioon y=f(x) + g(x) integreeruv lõigus [a, b] , kusjuures kehtib võrdus ab[ f(x) + g(x)]dx = abf (x )dx + abg (x )dx. T15. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a,b] , siis on selles lõigus integreeruv ka nende funktsioonide korrutis y=f(x)g(x). T16. Kui lõigus [a, b] integreeruvad funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) rahuldavad iga x [a, b] korral võrratust f(x) g (x), siis kehtib ka integraalide vahel võrratus abf (x )dx abg(x)dx (a < b ). T17. Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] , siis on selles lõigus integreeruv ka tema absoluutväärtus y=|f (x)|, kusjuures kehtib võrratus | abf (x )dx | ab|f (x )|dx (a < b ). T18. Newton-Leibnizi valem: Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] ja kui tal on selles lõigus olemas algfunktsioon y=F(x), siis kehtib valem abf (x )dx =F(b) - F(a). T19
tuletiste abil. Selliseid tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks (ingl. second order conditions), eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Globaalsed ekstreemumid o u u x, y, z,... x, y, z,... D . Öeldakse, et funktsioonil f on kohal Olgu antud funktsioon P0 D globaalne miinimum, kui P D korral kehtib võrratus f P0 f P . Tähistus: min u u P0 A .Öeldakse, et funktsioonil f on kohal P0 D globaalne maksimum, kui P D korral kehtib võrratus f P0 f P . Tähistus: max u u P0 A . Globaalse miinimumi ja maksimumi ühine nimetus on globaalne ekstreemum. Globaalne ekstreemum võib olla ainult kriitilises punktis või rajapunktis. o Funktsiooni
· Näiteks on f(x) = x + 1 piirväärtus kohal 3 võrdne neljaga, sest kui argumendi x väärtus läheneb arvule 3, siis funktsiooni väärtused f(x) hakkavad lähenema arvule 4. · Sümbol lim on lühend ladinakeelsest sõnast limes ja tähendab piiri. 3 Arv A on funktsiooni y = f(x) piirväärtuseks kohal a parajasti siis, kui iga arvu > 0 korral leidub niisugune arv > 0, et võrratusest 0 < |x a| < järeldub võrratus |f(x) A| < . (Järgmisel joonisel vahemikke u ja U nimetatakse vastavalt punkti a ja punkti A ümbruseks.) 4 Piirväärtuse võimalikud variandid · Lõplik piirväärtus lõplikus punktis. o lim ( + 6) = 8 2 · Lõpmatu piirväärtus lõplikus punktis. 1 o lim 2 = 0 · Lõplik piirväärtus lõpmatuspunktis. 1 o lim =0
Reisisoovitus Kolm retke Boppardis Eesti Ettevõtluskõrgkool Mainor Ettevõtluse Õppetool 2011 1. Retk mäeharjale CClilcikckicioconn totoadaddppicitc uturere Mäeharjalt avaneb lummav vaade looklevale Reini jõele. Kohale saab Sesselbahni ehk köisraudteega. 2 Rein CClilcikckicioconn totoadaddppicitc Saksamaa uturere pikim jõgi paljudes teatmeteostes 1320 kilomeetri pikkuseks märgitud jõe tegelik pikkus on lühem -ilmselt on kunagi numbrid trükistes segamini läinud- täpne pikkus on 1232 km 3 Paremal laiuv CClilcikckicioconn ...
mittekahanev(monotoonselt kahanev).
Paarisfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x) , kui f(x)=f(-x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Paarituks funktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=f(x), kui f(-x)=-f(x) iga x korral
määramispiirkonnast X.
Punkti E ümbruseks nimetakse arvtelje vahemikku a kuni a+E.
Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
2) Leidke sirgetega x 0 ja x ning antud joontega piiratud kujundi pindala. 2 4. (23.05.1998, II, 20 punkti). On antud funktsioon f x sin x cos x . 1) Lihtsustage avaldist f x f x . 2) Lahendage võrrand f x 1 . 3) Lahendage võrratus f x 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f x miinimumkoht vahemikus 0,2 ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 5. (06.06.1998, T, 10 punkti). Leidke argumendi x kõik väärtused, mille korral funktsiooni y tan x x tuletis on 0. 6. (31.05.1999, I, 15 punkti). Leidke sin 2 , kui sin rahuldab võrrandit 3 cos 2 7 sin2 ja .
1.Tõkestatud hulgad (näide). Tõkestamata hulgad (näide). Tõkestatud hulgad. Definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline positiivne arv nii, et iga korral kehtib võrratus . Hulk on tõkestatud, kui kõik selle hulga elemendid kuuluvad nulli ümbrusesse Näide: Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik vahemik (a;b) nii et AC(a;b) Tõkestamata hulgad. Näide: Näiteks lõpmatu vahemik (-, a) vahemik ja [a; ) lõpmatu poollõik. 2. Reaalarvu ümbrus. Arvtelg. Reaalarvu a absoluutväärtus (näiteks lihtsustage ). Absoluutväärtuse omadused. Tingimuse esitamine arvteljel
iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 < x2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) < f(x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb. α