osa Andres Haavasalu dikteeritud konspekti järgi koostanud Viljar Veidenberg. 2003. aasta 1 Sisukord Sisukord........................................................................................................................................2 Arvuhulgad............................................................................................................................... 5 Naturaalarvude hulk N..........................................................................................................5 Negatiivsete täisarvude hulk z ...........................................................................................5 Täisarvude hulk Z...
Ainekava eksamiks ,, Matemaatiline analüüs I " 2007 2008 kevadsemester 1. Naturaalarvud , täisarvud, ratsionaalarvud, irratsionaalarvud, reaalarvud. Naturaalarvud arvud, mis saadakse loendamise teel, tähistatakse: IN (1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., ) Täisarvud kõik naturaalarvud ja nende vastandarvud ning lisaks 0, tähistatakse Z m Ratsionaalarvud on sellised reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n jagatisena nii et n n 0...
. On ka käsitlusi, kus ka 0 loetakse naturaalarvuks. Naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga N. Naturaalarvude hulga saame esitada kujul: N = {1;2;3;...;n-1;n;n+1;...} . 0 1 2 3 4 Naturaalarvude hulga omadusi. · Naturaalarvude hulk N on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurim arvu. · Naturaalarvude hulk N on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. · Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes. (Kui kaks naturaalarvu liita või korrutada on tulemuseks alati naturaalarv.) · Naturaalarvude hulk ei ole kinnine lahutamise või jagamise suhtes. Naturaalarve, mis jaguvad 2-ga, nimetatakse paarisarvudeks, ülejäänuid paarituteks arvudeks. Ühest suuremat naturaalarvu , mis jagub vaid ühe ja iseendaga nimetatakse algarv...
) Null ei ole naturaalarv. Tähistatakse : N Algarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on 2 tegurit 1 ja tema ise nt 3 : jagub 1'ga ja 3'ga Kordarvudeks nimetatakse naturaalarve, millel on rohkem kui kaks tegurit. Nt 8 : jagub 1'ga, 2'ga, 4'ga, 8'ga Naturaalarvude hulgast saame täisarvude hulga kui lisan nulli ja naturaalarvude vastandarvud Täisarvud koosnevad naturaalarvudes, nende vastandarvudest ja nullist. Tähistatakse : Z Paarisarve tähistatakse 2n kus 'n' kuulub naturaalarvude hulka. Paarituid arve tähistatakse 2n+1 / 2n1 Ratsionaalarvud = täisarvud (Z) ja positiivsed ja negatiivsed murdarvud Tähistatakse : Q Kümnendmurrud jaotatakse lõpmatuteks ja lõplikeks Irratsionaalarvud = lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud (I) Reaalarvud = N Z Q I hulkasid Tähistatakse : R Kümnendmurrud jagunevad...
klass Juhendaja: Silja Risthein Aravete2011 Naturaalarvud N= {0; 1; 2; 3;....} Et Loendamisel teel on nulli rakse saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka. Alles 7.sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega . · Liitmine · Korrutamine · Lahutamine · Jagamine NATURAALARVUDE HULK N 1. On järjestatud lõpmatu hulk,milles on vähim,kuid pole suurimat arvu. 2. On hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge. 3. On hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Ratsionaalarvud Ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena , kus a Ratsionaalarvud on need reaalarvud, mida saab esitada kahe täisarvu m ja n ( ) jagatisena nii, et kus...
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c . Korrutamise distributiivsus l...
Hulkade spetsifitseerimine, tehted hulkadega, hulgateooria paradoksid. Hulk: Korteezh järjestatud lõplik hulk. Hulk mingi arv elemente, mille vahel on leitav seos klassifitseeritud elementide kogum. Hulk samalaadsete objektide järjestamata kogum. Hulga esitamine: elementide loeteluna A = {2;3;4} predikaadi abil A = {x | P(x)} Tühihulk on iga hulga osahulk. Iga hulk on iseenda osahulk. Hulga boleaan kõigi osahulkade hulk. H boleaan on 2H. 2H = {x | x on osahulgaks H-le}. Boleaani võimsus |2H| = 2|H| Tühja hulga boleaani võimsus on 1. Tehted: Hulkade võrdsus = A on B osahulk AND B on A osahulk. Ekvivalentsiseose definitsioon ((A => B) && (B => A)) hulgas sisaldavad samu elemente. Hulga osahulk võib võrduda hulgaga. Hulga pärisosahulk ei või võrduda. Hulkade ühend ...
3x 2 + 6 x - 297 = 0 / ÷ 3 x 2 + 2 x - 99 = 0 x = -1 ± 1 +99 = -1 ± 100 = -1 ±10 x1 = -11 või x 2 = 9 x1 = -11 ei sobi, x = 9 II arv on x +1 = 9 +1 = 10 ja III arv on x + 2 = 9 +2 = 11 Kontroll: 9² + 10² + 11²= 81 +100 +121 = 302 Vastus: need järjestikused naturaalarvud on 9, 10 ja 11 273 Olgu I arv x, siis II on x +1 ja III on x +2. Saame võrrandi (x +1)² = x(x +2) +1 Lahendus: x² +2x +1 = x² +2x +1 0 = 0 samasus: lahendiks sobib iga täisarv Kontroll: 1) olgu I arv x = -4, II on siis -3 ja III on -2 (-3)² = -4(-2) +1 9 = 8 +1 2) olgu x = 5, siis II arv on x +1 = 6 ja III arv on 7 6² = 5 × 7 +1 36 = 36...
Tehted astmete ja juurtega. Ratsionaal- ja irratsionaalavaldiste lihtsustamine. Irratsionaalsusest vabanemine. Lineaar-, ruut-, murd- ja juurvõrrandid. Võrrandite koostamine. Lihtsamate tekstülesannete lahendamine. 2. Tarkuseterad 2.1 Arvuhulgad Loendamisel kasutatavad arvud Arv 0 Kas 0N? Naturaalarvud N Järjestatav, vähim arv 1, lõpmatu Liitmine, korrutamine Jäägiga jagamine, algarv, SÜT, VÜK Nat. arvude vastandarvud Täisarvud Z Järjestatav, lõpmatu, punktihulk arvteljel Liitmine, korrutamine, lahutamine Murdarvud Ratsionaalarvud Q...
k 1 1 1 = cos u du = sin u + C = sin kx + C k k k 1 sin kx dx = - k cos kx + C 1 cos 8x cos 6x dx = 2 ( cos 2x + cos 14x ) dx = Näide: 1 1 1 1 1 = sin 2x + sin 14x + C = sin 2x + sin 14x + C 2 2 14 4 28 Integraalid kujul I n , m = sin x cos x dx n, m naturaalarvud kui m ja n on paarisarvud. n m 2. 1 sin 2 x = (1 - cos 2 x ) 2 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x ) 2 k 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2 x ) cos x 2k 2m m 1 1 1 sin x cos x dx = 2 (1 - cos 2x ) 2 ( 1 + cos 2x ) 2 ( 1 + cos 2x ) dx =...
SISSEJUHATUS Mõtlemine on käsiteldav kui igasugune aktiivne vaimne protsess. Tulemuslikku mõtlemist iseloomustab abstraheerimine, analüüs ja süntees. Mõtlemisvahendite põhjal võib seda jaotada · kaemuslik-motoorne, · kujundlik · sõnalis-loogiline (verbaal-loogiline). Sõnalis-loogiline mõtlemine tugineb mõistetele. Verbaalne mõtlemine avaldub inimese oskuses ... · opereerida mõistetega, neid võrrelda ja analüüsida; · püstitada hüpoteese, formuleerida kontseptsioone ja teooriaid; · seletada olemasolevaid teadmisi; · saada uusi teadmisi olemasolevate põhjal. Ratsionaalne mõtlemine on järjekindel ja reeglipärane (ehk loogiline) mõtlemine. See võib olla korrigeeritud kogemusega, mille allikaks peetakse tegelikkust. Eesmärgiks on sageli tegelikkusega kohanemine. Irratsionaalne mõt...
. . , n. JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st a || b a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = . 6 MAATRIKSI MÕISTE DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m (1) ja n VEERGU elementidega a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, (2) nimetatakse (m × n)-MAATRIKSIKS. Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi REAINDEKSIKS. Selle abil loendatakse maatriksi ridu...
Kui ratsionaalavaldis on kujul R (cos x ) sin x , siis integraali R(cos x ) sin xdx (8) leidmiseks kasutatakse muutuja vahetust t = cos x . Siis dt = - sin xdx ja integraal (8) teiseneb jälle ratsionaalavaldise integraaliks: R(cos x ) sin xdx =- R( t )dt. 5.Kumbagi kahest viimasest muutuja vahetusest ei saa kasutada siis, kui integraalis sin m x cos n xdx naturaalarvud m ja n on mõlemad paarisarvud. Niisugust tüüpi avaldiste integreerimiseks kasutatakse poolnurga siinuse ja koosinuse valemeid: 1 - cos 2 x sin 2 x = , 2 1 + cos 2 x cos 2 x = . 2...
n n +1 ja c)indukts iooni s amm: an + 4 = an + 2 + an + 3 ( 3 / 2 ) + ( 3 / 2 ) = ( 3 / 2) (1 + 3 / 2) >= ( 3 / 2) ( 9 / 4) = ( 3 / 2) n n +1 n n n+2 T u gev in du k s tioon ip rin ts iip (R .Palm järgi) O lgu P (n) üldväide, mil le para meetr i n väärtus teks on naturaalarvud . Kui a) väide P(1) kehtib b) iga naturaal arvu k korral järeldub s elles t, et väide kehtib kõigi P(m) korral, kus m< k, väite kehtivus P(k) j aoks , s iis väide P(n) kehtib iga naturaalarvu n korral. N äide: Sokolaadit ahvel mõõtmet ega a ×b ruutu murtaks e mööd a j ooni tükkideks , kuni enam murda ei s aa. Tões tada, et murdmis t e arv on a*b- 1. a) induks tiooni baas n= 1: s iis a= 1; b= 1 ja murd mi s te arv on 1*1-1= 0....
1 2)hulk el. 1, ala mhulk ka el.1, s iin es itus e küs imus N -naturaalarvud Z- täis arvud R -reaalarvud Q -rats ionaalarvud C -kompl eks arvud K ehtib: N Z Q R Lõplik hulk- kindel arv elemente (on alati ka loenduv) Lõpmatu hulk-piiramata arv ele ment e Loenduv hulk- kui tema elementid ele s aab s eada vas tavus s e naturaalarvud e hulga D ef. Olgu U u n ivers aalh u lk , A ja B tem a alam h ulgad . Hu lga A täien d ik s eh k ab s olu u ts ek s täien d ik s n im etataks e hu lk a A = { x U | x A} N 5: A ntud on univers aalhulk U = {E ,T , K , N , R , L , P} ja hulk A = { L , P} . Leida hulga A täiend. D ef. Kah e hu lga X ja Y üh is os a X Y = { z | z X ja z Y } D ef. Kah e hu lga X ja Y üh en d X Y = { z | z X või z Y } N 6: A ntud on hulgad A = {a ,b ,c} , B = {b ,c , d } j a C = {b ,c ,e}...
Kopmositsioon. 3.4 Teha kindlaks, kas ühel ja samal hulgal määratud transitiivsete relatsioonide kompositsioon on alati samuti transitiivne. 4. Suurim ühistegur 4.1 Tõestada, et suvaliste naturaalarvude a ja b korral kehtib võrdus SÜT(2a, 2b)= 2SÜT(a,b). 4.2 Olgu arvude a ja b korral leitud arvud s ja t nii, et SÜT(a,b)= as+bt. Millised on vastavad arvud 2a ja 2b korral? 4.3 Millised on vastavad arvud eelmises punktis arvude a ja a+b korral? 4.4 Olgu a ja b fikseeritud naturaalarvud. Valime naturaalarvud s ja t selliselt, et nad oleksid nii arvudega a ja b kui ka omavahel ühistegurita. Milliseid väärtusi võib omandada arvude as ja bt suurim ühistegur, kui arvude a ja b suurim ühistegur on d....
2. Tõestada, et ei tarvitse kehtida sisaldavus (R U S)2 c R2 U S2 4. Jagavus 1. Defineerida jagavus. 2. Tõestada vahetu arutlisega, lähtudes jaguvuse mõistest, et kui a | b ja a | c, siis ka a | b + c, a | b c ja a | bc. 3. Vaatleme Eukleidese algoritmi sammu a1b b1r. Tõestada, et kui mingi arv d on vasaku poole arvude tegur, siis on ta ka parema poole arvude tegur ja ümberpöördult. 4. Olgu a, b ja c sellised naturaalarvud , et a | c, b | c, kuid a b. Tõestada, et ei tarvitse kehtida a | c/b. 5. Milliseid tingimusi peab arv a rahuldama, et suvaliste selliste arvude b ja c jaoks, mille puhul a | c, b | c ja a b, kehtiks a | c/b?...
A Klass Paide 2009 1. Naturaal-, täis- ja ratsionaalarvud. Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis naturaalarvude hulk N. Esialgu ei kuulunud null arvude hulka. Alles 7. Sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Neli põhitehet naturaalarvudega on liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. Murdudega seoses kasutatakse mõisteid harilik murd, liigmurd ja lihtmurd. On ka veel...
Lõpmatu kümnendmurd kümnendmurd, mille ükski numbrikoht pole viimane. 48. Lähisküljed ühest ja samast tipust lähtuvad hulknurga küljed. 49. Mediaan kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga ühendav lõik. 50. Minut ringjoone kaare või vastava kesknurga mõõtühik. 51. Mittetäielik ruutvõrrand ruutvõrrand, mis esitub kas kujul ax2+c=0 või kujul ax2+bx=0 või hoopis kujul ax2=0. 52. Murdvõrrand võrrand, mis sisaldab tundmatut murru nimetajas. 53. Naturaalarvud loendamise teel saadud arvud 1, 2, 3, ... 54. Nullkoht argumendi väärtus, mille korral funktsiooni väärtus on null. 55. Ordinaattelg y telg 56. Paarisarv kahega jaguv täisarv. 57. Paaritu arv täisarv, mis ei jagu kahega . 58. Parabool ruutfunktsiooni graafik. 59. Paralleelsus erinevate sirgete omadus olla ühe ja sama sihiga. 60. Perioodiline kümnendmurd kümnendmurd, mille murdosa mingist kindlast kohast alates teatav numbrite rühm lõpmatult kordub. 61...
Näide 1. On antud arvud 3, 4, 5 ja 6. Leiame nende arvude aritmeetilise keskmise. 1) Leiame summa: 3 + 4 + 5 + 6 = 18. 2) Jagame summa liidetavate arvuga 18 : 4 = 4,5. Seega nende arvude aritmeetiline keskmine on 4,5. Lahendamiseks sobib ka avaldis (3 + 4 + 5 + 6) : 4. Arvkiir on kiir, mille alguspunktis on märgitud arv 0. Edasi on vabalt valitud ühiklõikude kaugusel järgmised naturaalarvud kasvavas järjekorras. Arvkiirt võime vajaduse korral pikendada kuitahes kaugele. Absoluutväärtus on positiivse arvu ja nulli korral arv ise ning negatiivse arvu absoluutväärtuseks on selle arvu vastandarv. Arvu absoluutväärtus on seda arvu arvteljel kujutava punkti kaugus nullpunktist Arvu kordsed on kõik need arvud, mis antud arvuga jaguvad. Näide. 16 ja 36 on arvu 2 kordsed, sest nad jaguvad 2-ga 16 : 2 = 8 36 : 2 = 18 Kõik mingi arvu kordsed jaguvad selle arvuga....